Problema de engrenagens e serras circulares
Gabarito: letra A. Seja (x) o número de engrenagens (3 dentes) e (y) o número de serras (5 pontas). A equação é (3x + 5y = 97). Resolvendo a equação diofantina, as soluções inteiras não negativas são: ((x,y) = (29,2), (24,5), (19,8), (14,11), (9,14), (4,17)). A partir dessas, analisamos cada alternativa.
Caso | x (engrenagens) | y (serras) | 3x + 5y = 97 | y ≤ 17? |
|---|
1 | 29 | 2 | V | V |
2 | 24 | 5 | V | V |
3 | 19 | 8 | V | V |
4 | 14 | 11 | V | V |
5 | 9 | 14 | V | V |
6 | 4 | 17 | V | V |
Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Os valores possíveis de (y) são 2, 5, 8, 11, 14 e 17. O maior valor é 17. Portanto, o número máximo de serras circulares é 17, o que torna a afirmação verdadeira.
Alternativa B — ❌ Incorreta
A combinação (9 engrenagens e 14 serras) existe, mas não é a única. O enunciado pede o que necessariamente existe; como outras combinações são possíveis, essa não é obrigatória.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Comparando x e y nas soluções: apenas em (9,14) e (4,17) temos y > x; nas demais, y < x. Logo, não é sempre verdade.
Alternativa D — ❌ Incorreta
O menor valor de x entre as soluções é 4. Portanto, o mínimo de engrenagens é 4, e não 3. A afirmação de que existem "no mínimo 3 engrenagens" significa que 3 é o número mínimo, o que é falso.
Alternativa E — ❌ Incorreta
O maior y é 17, e há solução com y=17, portanto existem pelo menos 17 serras em um caso. Afirmar que há no máximo 16 serras é falso.
Gabarito: letra A.