Matemática Financeira · FCC · 2015 | Questão sqc-fc021146

Matemática Financeira – Desconto Racional Composto

Gabarito: letra B. O valor de P é R$ 29.160,00. A dívida de hoje (R$ 77.000,00) deve ser igual à soma dos valores presentes dos dois pagamentos futuros, descontados racionalmente a 8% ao ano: $P$ daqui a 1 ano e $2P$ daqui a 2 anos. Resolvendo a equação $77.000 = \frac{P}{1,08} + \frac{2P}{1,08^2}$ , obtém-se $P = 29.160$ .

Resolução passo a passo

No regime de desconto racional composto (por dentro), o valor presente de um montante futuro $FV$ é dado por:

PV = \frac{FV}{(1 + i)^n}

A dívida atual ( $R\$ 77.000,00$) equivale à soma dos valores presentes dos dois pagamentos:

77.000 = \frac{P}{(1 + 0,08)^1} + \frac{2P}{(1 + 0,08)^2}

Calculando os fatores:

$(1,08)^1 = 1,08$
$(1,08)^2 = 1,1664$

Substituindo:

77.000 = \frac{P}{1,08} + \frac{2P}{1,1664}

Colocando $P$ em evidência e usando frações exatas:

$\frac{P}{1,08} = P \cdot \frac{100}{108} = \frac{25}{27}P$
$\frac{2P}{1,1664} = 2P \cdot \frac{10000}{11664} = \frac{20000}{11664}P = \frac{1250}{729}P$

Somando:

\frac{25}{27} + \frac{1250}{729} = \frac{675}{729} + \frac{1250}{729} = \frac{1925}{729}

Portanto:

77.000 = \frac{1925}{729}P \quad \Rightarrow \quad P = 77.000 \times \frac{729}{1925}

Simplificando $77.000 / 1925 = 40$ (pois $1925 \times 40 = 77.000$ ), logo:

P = 40 \times 729 = 29.160

Conclusão: $P = R\$ 29.160,00$.

Caso	Atribuição de P (R$)	Equação 77.000 = P/1,08 + 2P/1,1664	Resultado
1	27.000,00	27.000/1,08 + 54.000/1,1664 ≈ 25.000 + 46.296,30 ≈ 71.296,30	Incorreto
2	29.160,00	29.160/1,08 + 58.320/1,1664 ≈ 27.000 + 50.000 = 77.000	Correto
3	30.326,40	30.326,40/1,08 + 60.652,80/1,1664 ≈ 28.080 + 52.000 ≈ 80.080	Incorreto
4	31.492,80	31.492,80/1,08 + 62.985,60/1,1664 ≈ 29.160 + 54.000 ≈ 83.160	Incorreto
5	32.659,20	32.659,20/1,08 + 65.318,40/1,1664 ≈ 30.240 + 56.000 ≈ 86.240	Incorreto

Alternativas

A) R$ 27.000,00 – ❌ Incorreta. Esse valor resultaria se a taxa fosse aplicada de forma linear ou se houvesse erro nos cálculos.
B) R$ 29.160,00 – ✅ Correta. Conforme demonstrado.
C) R$ 30.326,40 – ❌ Incorreta. Provavelmente obtida ao considerar juros simples ou inversão de frações.
D) R$ 31.492,80 – ❌ Incorreta. Poderia vir de uso de desconto comercial composto.
E) R$ 32.659,20 – ❌ Incorreta. Distrator comum para quem não utiliza a equivalência correta.

Gabarito: letra B.

Questão de Matemática Financeira — Desconto Racional (Real ou Por Dentro) Composto — FCC 2015

Matemática Financeira – Desconto Racional Composto

Resolução passo a passo

Alternativas