Questão de Matemática Financeira — Conceitos fundamentais de Matemática Financeira — FCC 2015
Matemática Financeira›Conceitos fundamentais de Matemática Financeira
Código
fc021148
Banca
FCC
Órgão
SEFAZ-PI
Ano
2015
Nível
Superior
Cargo
Analista do Tesouro Estadual - Conhecimentos Gerais
Um capital de R$ 15.000,00 é aplicado, durante 2 anos, à taxa de 5% ao semestre com capitalização contínua. Dos valores abaixo, o mais próximo do valor dos juros desta aplicação éDados: ln(1,051271) = 0,05; ln(1,105171) = 0,10; ln(1,161834) = 0,15 e ln(1,221403) = 0,20; em que ln é o logarítmo neperiano, tal que ln(e) = 1.
AR$ 3.076,00
BR$ 3.155,00
CR$ 3.321,00
DR$ 3.487,00
ER$ 3.653,00
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GabaritoC — R$ 3.321,00
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Matemática Financeira – Capitalização Contínua
Gabarito: letra C (R$ 3.321,00). O montante sob capitalização contínua é dado por ( M = C \cdot e^{i \cdot t} ). Com capital de R$ 15.000,00, taxa de 5% ao semestre e prazo de 2 anos (4 semestres), temos ( M = 15.000 \cdot e^{0,05 \cdot 4} = 15.000 \cdot e^{0,20} ). Pelo dado fornecido, ( \ln(1,221403) = 0,20 ), logo ( e^{0,20} = 1,221403 ). Então ( M = 15.000 \times 1,221403 = 18.321,045 ) e os juros são ( J = M - C = 18.321,045 - 15.000 = 3.321,045 ), cujo valor mais próximo é R$ 3.321,00.
A banca testa o domínio da fórmula de capitalização contínua e a habilidade de usar a função exponencial a partir dos logaritmos naturais fornecidos. O passo crítico é converter o prazo para a mesma unidade da taxa (semestre) e interpretar corretamente a relação ( \ln(x) = y \iff x = e^{y} ).
Alternativa A — ❌ Incorreta
O valor R$ 3.076,00 é inferior ao correto. Ele poderia ser obtido se o aluno usasse capitalização composta discreta com taxa de 5% ao semestre e 4 períodos: ( M = 15.000 \times (1,05)^4 \approx 15.000 \times 1,21550625 = 18.232,59 ), juros ≈ R$ 3.232,59, ainda acima de R$ 3.076,00. Não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados.
Alternativa B — ❌ Incorreta
R$ 3.155,00 também é inferior. Possível erro: aplicar a taxa nominal de 5% ao semestre como se fosse anual, resultando em ( e^{0,05 \times 2} = e^{0,10} = 1,105171 ), montante = 15.000 × 1,105171 = 16.577,57, juros = 1.577,57 (muito menor). Ou ainda usar juros simples: 15.000 × 0,05 × 4 = 3.000,00.
Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Conforme calculado, os juros são R$ 3.321,045, arredondando para R$ 3.321,00.
Alternativa D — ❌ Incorreta
R$ 3.487,00 é superior. Pode decorrer de erro ao elevar ( e^{0,20} ) a um valor maior, como usar ( e^{0,25} ) (1,284025) gerando montante ≈ 19.260,38 e juros ≈ 4.260,38, ou então usar capitalização composta discreta com taxa de 10% ao ano (juros de 3.150,00 aproximadamente) e somar algo a mais.
Alternativa E — ❌ Incorreta
R$ 3.653,00 ainda mais alto. Possível confusão: usar ( e^{0,05 \times 5} = e^{0,25} ) (juros ≈ 4.260) ou aplicar a taxa de 5% ao mês (60% ao ano) – completamente fora.
PEGA ESSA DICA!
Em capitalização contínua, garanta que o tempo e a taxa estejam na mesma unidade. Use a relação ( \ln(M/C) = i \cdot t ) para verificar. Se a questão fornece ( \ln ) de alguns números, o valor de ( e^{\text{algo}} ) é o argumento do logaritmo.