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Questão de Matemática Financeira — Conceitos fundamentais de Matemática Financeira — FCC 2015

Matemática FinanceiraConceitos fundamentais de Matemática Financeira
Código
fc021315
Banca
FCC
Órgão
SEFAZ-PI
Ano
2015
Nível
Superior
Cargo
Auditor Fiscal da Fazenda Estadual - Conhecimentos Gerais
Uma pessoa deve a um credor três parcelas mensais consecutivas de mesmo valor nominal R$ 1.000,00 cada, a primeira a vencer daqui a 30 dias. Deseja hoje substituí-las por dois pagamentos iguais entre si, um com vencimento para daqui a 2 meses e outro para daqui a 4 meses. Utilizando o critério do desconto racional composto, com taxa de 5% ao mês, o valor X de cada uma dessas duas prestações, em reais, é tal que
  1. A1 585 < X < 1 590
  2. B1 570 < X < 1 575
  3. C1 590 < X < 1 595
  4. D1 575 < X < 1 580
  5. E1 580 < X < 1 585
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 1 570 < X < 1 575

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Matemática Financeira – Equivalência de Capitais (Desconto Racional Composto)

Gabarito: letra B. O valor X de cada prestação é aproximadamente R$ 1.574,38, que se encontra no intervalo 1.570 < X < 1.575 (alternativa B). A solução consiste em igualar os valores presentes (ou futuros) do fluxo original e do novo fluxo, utilizando a taxa de 5% ao mês no regime de juros compostos (desconto racional composto).

Método de resolução

  1. Fluxo original: três parcelas de R$ 1.000,00 nos meses 1, 2 e 3.

  2. Novo fluxo: duas parcelas iguais X nos meses 2 e 4.

  3. Data focal: qualquer data; escolheu-se (t=0) (presente) por conveniência.

Valor presente do fluxo original:

VPoriginal=10001,051+10001,052+10001,053VP_{\text{original}} = \frac{1000}{1,05^1} + \frac{1000}{1,05^2} + \frac{1000}{1,05^3}
=10001,05+10001,1025+10001,157625= \frac{1000}{1,05} + \frac{1000}{1,1025} + \frac{1000}{1,157625}
=952,38095+907,02948+863,83760=2723,24803= 952,38095 + 907,02948 + 863,83760 = 2723,24803

Valor presente do novo fluxo:

VPnovo=X1,052+X1,054=X1,1025+X1,21550625VP_{\text{novo}} = \frac{X}{1,05^2} + \frac{X}{1,05^4} = \frac{X}{1,1025} + \frac{X}{1,21550625}
=X×(0,90702948+0,82270247)=X×1,72973195= X \times (0,90702948 + 0,82270247) = X \times 1,72973195

Igualando:

2723,24803=1,72973195⋅X⇒X=2723,248031,72973195≈1574,382723,24803 = 1,72973195 \cdot X \Rightarrow X = \frac{2723,24803}{1,72973195} \approx 1574,38

O valor calculado está no intervalo (1570 < X < 1575), confirmando a alternativa B.

Caso

Atribuição (X)

Resultado (VP original = VP novo)

1

X = 1574,38

2723,25 ≈ 2723,25 → Consistente

2

X = 1570

2723,25 > 2715,68 → Inviável

3

X = 1575

2723,25 < 2724,33 → Inviável

Verificação com data focal alternativa (mês 4)

  • Original transportado para mês 4: (1000 \times 1,05^3 + 1000 \times 1,05^2 + 1000 \times 1,05 = 1157,625 + 1102,50 + 1050 = 3310,125)

  • Novo: (X \times 1,05^2 + X = X \times (1,1025 + 1) = 2,1025X)

  • Igualando: (3310,125 = 2,1025X \Rightarrow X \approx 1574,38) (mesmo resultado).

Gabarito: letra B (1570 < X < 1575).

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