Matemática Financeira · FCC · 2016 | Questão sqc-fc028566

Matemática Financeira – Sistema de Amortização Constante (SAC)

Gabarito: letra A. O valor da 25ª prestação é R$ 4.300,00. A resolução utiliza a fórmula da prestação no SAC: $P_k = A + i \times (L - (k-1)A)$ , onde $L$ é o valor do empréstimo, $n=60$ , $A=L/60$ e $i=2\%$ ao mês. A partir da penúltima prestação (R$ 2.600,00) determina-se $L = R\$ 150.000,00$, e então calcula-se $P_{25}$ .

Passo a passo da resolução

No SAC, a amortização é constante e igual a $A = \frac{L}{n}$ . Com $n=60$ , $A = \frac{L}{60}$ . A prestação do $k$ -ésimo período é:

P_k = A + i \times SD_{k-1} = A + i \times [L - (k-1)A].

Substituindo $A = L/60$ e $i=0,02$ , temos uma expressão geral em função de $L$ .

1. Determinar o valor do empréstimo ( $L$ ) usando a penúltima prestação ( $P_{59}=2.600$ )

Para $k=59$ :

P_{59} = A + i \times (L - 58A) = \frac{L}{60} + 0,02 \times \left(L - 58 \times \frac{L}{60}\right).

Simplificando:

P_{59} = \frac{L}{60} + 0,02L - 0,02 \times \frac{58L}{60} = L \left(\frac{1}{60} + 0,02 - \frac{1,16}{60}\right).

P_{59} = L \left(\frac{1 + 1,2 - 1,16}{60}\right) = L \left(\frac{1,04}{60}\right) = \frac{1,04L}{60}.

Igualando a R$ 2.600,00:

\frac{1,04L}{60} = 2.600 \Rightarrow L = \frac{2.600 \times 60}{1,04} = \frac{156.000}{1,04} = 150.000.

Portanto, $L = R\$ 150.000,00$ e $A = \frac{150.000}{60} = 2.500$ .

2. Calcular a 25ª prestação ( $P_{25}$ )

Para $k=25$ :

P_{25} = A + i \times (L - 24A) = 2.500 + 0,02 \times (150.000 - 24 \times 2.500).

P_{25} = 2.500 + 0,02 \times (150.000 - 60.000) = 2.500 + 0,02 \times 90.000 = 2.500 + 1.800 = 4.300.

Logo, $P_{25} = R\$ 4.300,00$, correspondente à alternativa A.

Análise das alternativas

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Conforme demonstrado, o valor é exatamente R$ 4.300,00.

Alternativa B — ❌ Incorreta (R$ 3.800,00)

Este valor seria obtido se, por exemplo, houvesse um erro no cálculo do saldo devedor ou na aplicação da taxa. Não há correspondência com a fórmula correta.

Alternativa C — ❌ Incorreta (R$ 4.350,00)

Valor que poderia surgir se a taxa de juros fosse aplicada sobre o saldo devedor de forma equivocada (por exemplo, usando juros sobre o saldo após 25 amortizações em vez de 24).

Alternativa D — ❌ Incorreta (R$ 3.850,00)

Possível confusão ao considerar a prestação como decrescente linearmente, mas sem usar a relação correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta (R$ 3.950,00)

Sem correspondência com os cálculos; pode resultar de erro aritmético na determinação do empréstimo.

PEGA ESSA DICA!

No SAC, as prestações formam uma progressão aritmética decrescente de razão $r = -i \times A$ . Você pode verificar que $P_{25} = P_{59} + (59-25) \times (-r)$ ? Mas cuidado: essa PA é válida APENAS para as prestações, não para os juros. Use a fórmula direta para evitar confusão.

Gabarito: letra A.