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Questão de Matemática Financeira — Conceitos fundamentais de Matemática Financeira — FCC 2016

Matemática FinanceiraConceitos fundamentais de Matemática Financeira
Código
fc029821
Banca
FCC
Órgão
PGE-MT
Ano
2016
Nível
Superior
Cargo
Analista – Contador
Carlos tinha um capital C disponível por um período de um ano e resolveu aplicá-lo, durante todo esse período, da seguinte forma:− 1/3 de C a juro simples, à taxa de 3% ao mês, e− o restante de C a juros compostos, à taxa de 18% ao semestre.No final do prazo, a diferença entre os juros recebidos nas duas aplicações foi de R$ 1.274,40. O montante recebido na
  1. Aprimeira aplicação foi de R$ 4.080,00.
  2. Bprimeira aplicação foi de R$ 4.172,20.
  3. Cprimeira aplicação foi de R$ 4.274,40.
  4. Dsegunda aplicação foi de R$ 7.080,00.
  5. Esegunda aplicação foi de R$ 7.274,40.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — primeira aplicação foi de R$ 4.080,00.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Matemática Financeira – Juros Simples e Compostos

Gabarito: letra A. O montante da primeira aplicação (juros simples) é de R$ 4.080,00. Resolve-se igualando a diferença entre os juros das duas aplicações ao valor dado, encontrando o capital total C = R$ 9.000,00. Calcula-se então o montante da parte aplicada a juros simples: capital de R$ 3.000,00 (1/3 de C) a 3% a.m. por 12 meses gera montante de R$ 4.080,00.

A questão exige montar as expressões de juros para cada parte, igualar a diferença e resolver para C. Vejamos:

  • Aplicação 1 (juros simples): capital C1=C3C_1 = \frac{C}{3}, taxa is=3% a.m.=0,03i_s = 3\%\ a.m. = 0,03, prazo n=12n = 12 meses.

    Juros: J1=C1⋅is⋅n=C3⋅0,03⋅12=0,12CJ_1 = C_1 \cdot i_s \cdot n = \frac{C}{3} \cdot 0,03 \cdot 12 = 0,12C.

    Montante: M1=C1+J1=C3+0,12C=C3+3C25=25C+9C75=34C75M_1 = C_1 + J_1 = \frac{C}{3} + 0,12C = \frac{C}{3} + \frac{3C}{25} = \frac{25C + 9C}{75} = \frac{34C}{75} (mas não precisamos dessa fração).

  • Aplicação 2 (juros compostos): capital C2=2C3C_2 = \frac{2C}{3}, taxa ic=18% ao semestre=0,18i_c = 18\%\ ao\ semestre = 0,18, prazo n=2n = 2 semestres.

    Montante: M2=C2⋅(1+ic)2=2C3⋅(1,18)2=2C3⋅1,3924=2,7848C3=0,9282667CM_2 = C_2 \cdot (1 + i_c)^2 = \frac{2C}{3} \cdot (1,18)^2 = \frac{2C}{3} \cdot 1,3924 = \frac{2,7848C}{3} = 0,9282667C.

    Juros: J2=M2−C2=2C3⋅(1,18)2−2C3=2C3[(1,18)2−1]=2C3⋅(1,3924−1)=2C3⋅0,3924=0,2616CJ_2 = M_2 - C_2 = \frac{2C}{3} \cdot (1,18)^2 - \frac{2C}{3} = \frac{2C}{3} \left[(1,18)^2 - 1\right] = \frac{2C}{3} \cdot (1,3924 - 1) = \frac{2C}{3} \cdot 0,3924 = 0,2616C.

    Usando frações exatas: (1,18)2=(118100)2=1392410000=34812500(1,18)^2 = \left(\frac{118}{100}\right)^2 = \frac{13924}{10000} = \frac{3481}{2500}. Então:

    M2=2C3⋅34812500=6962C7500=3481C3750M_2 = \frac{2C}{3} \cdot \frac{3481}{2500} = \frac{6962C}{7500} = \frac{3481C}{3750}.

    J2=3481C3750−2C3=3481C−2500C3750=981C3750=327C1250J_2 = \frac{3481C}{3750} - \frac{2C}{3} = \frac{3481C - 2500C}{3750} = \frac{981C}{3750} = \frac{327C}{1250}.

Diferença: J2−J1=327C1250−0,12CJ_2 - J_1 = \frac{327C}{1250} - 0,12C. Sendo 0,12=325=15012500,12 = \frac{3}{25} = \frac{150}{1250}, então: J2−J1=327C−150C1250=177C1250J_2 - J_1 = \frac{327C - 150C}{1250} = \frac{177C}{1250}.

Igualando ao valor dado: 177C1250=1274,40\frac{177C}{1250} = 1274,40. Logo 177C=1274,40×1250=1.593.000177C = 1274,40 \times 1250 = 1.593.000. C=1.593.000177=9.000C = \frac{1.593.000}{177} = 9.000.

Portanto, capital total C = R$ 9.000,00.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Montante da primeira aplicação: M1=C3+J1=90003+0,12⋅9000=3000+1080=4080M_1 = \frac{C}{3} + J_1 = \frac{9000}{3} + 0,12 \cdot 9000 = 3000 + 1080 = 4080. Logo, primeira aplicação rendeu montante de R$ 4.080,00.

Alternativa B — ❌ Incorreta

R$ 4.172,20 não corresponde ao montante calculado; provavelmente erro na determinação de C ou no cálculo dos juros simples.

Alternativa C — ❌ Incorreta

R$ 4.274,40 é o valor da diferença dos juros (R$ 1.274,40) somado a algo? Não é o montante correto.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Montante da segunda aplicação: M2=2C3⋅(1,18)2=6000⋅1,3924=8354,40M_2 = \frac{2C}{3} \cdot (1,18)^2 = 6000 \cdot 1,3924 = 8354,40, não R$ 7.080,00. Este valor pode vir de cálculo com taxa ou período errados.

Alternativa E — ❌ Incorreta

R$ 7.274,40 também não corresponde ao montante da segunda aplicação (R$ 8.354,40).

PEGA ESSA DICA!

Para problemas com duas aplicações em regimes diferentes, escreva as fórmulas de juros literalmente, iguale a diferença fornecida e resolva para o capital. Cuidado com a conversão de taxas proporcionais (aqui as taxas já estão nas unidades de tempo compatíveis com os prazos). Uma tabela resume:

Aplicação

Regime

Capital

Taxa

Prazo

Juros

Montante

1ª

Simples

C3\frac{C}{3}

3% a.m.

12 meses

0,12C0,12C

C3+0,12C\frac{C}{3}+0,12C

2ª

Composto

2C3\frac{2C}{3}

18% a.s.

2 semestres

2C3[(1,18)2−1]\frac{2C}{3}[(1,18)^2-1]

2C3(1,18)2\frac{2C}{3}(1,18)^2

Após encontrar C, calcule o montante pedido (aqui, da primeira).

Gabarito: letra A.

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