Questão de Raciocínio Lógico — Diagramas de Venn (Conjuntos) — FCC 2016

Problema de Conjuntos — Três Planos

Gabarito: letra C. O número de pessoas que possui exatamente dois dos três planos é 39, obtido pela resolução do sistema de equações com base nos totais de cada plano e na condição de que todos possuem ao menos dois planos.

Embora o enunciado mencione 55 pessoas, os dados fornecidos (32 com plano médico, 25 com odontológico, 33 com previdência e 4 com os três) indicam que o total real seria 43. Resolvendo o sistema, encontramos que 39 pessoas possuem exatamente dois planos.

Resolução passo a passo

Sejam:

• (a) = pessoas com apenas médico e odontológico

• (b) = pessoas com apenas médico e previdência

• (c) = pessoas com apenas odontológico e previdência

• (d) = pessoas com os três planos = 4

Cada pessoa tem ao menos dois planos, então:

[ a + b + c + d = 55 \quad \Rightarrow \quad a + b + c = 51 ]

Os totais de cada plano são:

[ \begin{aligned} \text{Médico: } & a + b + d = 32 \quad \Rightarrow \quad a + b = 28 \ \text{Odontológico: } & a + c + d = 25 \quad \Rightarrow \quad a + c = 21 \ \text{Previdência: } & b + c + d = 33 \quad \Rightarrow \quad b + c = 29 \end{aligned} ]

Somando as três equações:

[ (a+b) + (a+c) + (b+c) = 28 + 21 + 29 = 78 \quad \Rightarrow \quad 2(a+b+c) = 78 \quad \Rightarrow \quad a+b+c = 39 ]

Comparando com (a+b+c = 51) (do total), notamos uma inconsistência. No entanto, os valores calculados a partir das equações dos planos são consistentes entre si: (a=10, b=18, c=11), totalizando (a+b+c=39), e com (d=4), o total seria (43). Assim, a única interpretação que satisfaz todos os dados é que (a+b+c = 39), que é o número de pessoas com exatamente dois planos.

{"tipo": "venn3", "rotulos": ["Médico", "Odontológico", "Previdência"], "regioes": {"a": 10, "b": 18, "c": 11, "ab": 0, "ac": 0, "bc": 0, "abc": 4, "fora": 0}}

Gabarito: letra C — 39.