GabaritoA — 4.
Gabarito: letra A (4). A compra deve gastar exatamente R$ 537,00 com artigos de R$ 15,00 e R$ 24,00. Sejam x a quantidade do artigo de R$ 15,00 e y a do artigo de R$ 24,00. A equação é 15x + 24y = 537. Dividindo por 3, obtemos 5x + 8y = 179. Resolveremos essa equação diofantina linear para x e y inteiros não negativos.
Para encontrar as soluções inteiras, isolamos x: 5x = 179 - 8y ⇒ x = (179 - 8y)/5. Para x ser inteiro, 179 - 8y deve ser múltiplo de 5. Calculando módulo 5: 179 ≡ 4, 8y ≡ 3y, então 4 - 3y ≡ 0 (mod 5) ⇒ 3y ≡ 4 (mod 5). O inverso de 3 mod 5 é 2, então y ≡ 8 ≡ 3 (mod 5). Assim, y = 5k + 3 para k inteiro. Substituindo: x = (179 - 8(5k+3))/5 = (179 - 40k - 24)/5 = (155 - 40k)/5 = 31 - 8k.
Para x ≥ 0 e y ≥ 0, temos: y ≥ 0 ⇒ k ≥ 0 (pois k ≥ -3/5); x ≥ 0 ⇒ 31 - 8k ≥ 0 ⇒ k ≤ 3,875 ⇒ k ≤ 3. Portanto, k = 0, 1, 2, 3, gerando 4 soluções:
k | y = 5k+3 | x = 31-8k |
|---|---|---|
0 | 3 | 31 |
1 | 8 | 23 |
2 | 13 | 15 |
3 | 18 | 7 |
Todas as quantidades são inteiras e não negativas, totalizando 4 maneiras distintas de realizar a compra.
Questões que envolvem compras com valor fixo e dois produtos recaem em equações diofantinas lineares. O truque é simplificar a equação e usar congruência para encontrar o padrão das soluções. Lembre-se de que as quantidades devem ser inteiras e não negativas; a contagem das soluções viáveis é dada pelo número de valores inteiros de k que satisfazem as restrições.
Gabarito: letra A (4).
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