GabaritoC — 603/20
Gabarito: letra C (603/20). A sequência é definida por (a_n = \frac{(n+2)^2+1}{n+2} = n+2 + \frac{1}{n+2}). O termo mais próximo de 10 é (a_8 = 10 + \frac{1}{10} = \frac{101}{10}); o termo mais próximo de 20 é (a_{18} = 20 + \frac{1}{20} = \frac{401}{20}). A soma é (\frac{101}{10}+\frac{401}{20} = \frac{202}{20}+\frac{401}{20} = \frac{603}{20}).
Os termos são: (\frac{10}{3}, \frac{17}{4}, \frac{26}{5}, \frac{37}{6}, \dots). Observamos que:
Denominadores: 3, 4, 5, 6, … → (n+2) (com (n) iniciando em 1).
Numeradores: 10, 17, 26, 37, … → diferenças consecutivas: 7, 9, 11, … → crescem de 2 em 2. Isso sugere que o numerador é ((n+2)^2+1): para (n=1): (3^2+1=10); (n=2): (4^2+1=17); etc. Confirmado.
Assim, o termo geral é: [ a_n = \frac{(n+2)^2+1}{n+2} = n+2 + \frac{1}{n+2}. ]
Queremos os termos mais próximos dos inteiros 10 e 20. Como (a_n) é um pouco maior que (n+2), o termo mais próximo de um inteiro (k) ocorre quando (n+2 = k).
Para (k=10): (n+2=10 \Rightarrow n=8) → (a_8 = 10 + \frac{1}{10} = \frac{101}{10}).
Para (k=20): (n+2=20 \Rightarrow n=18) → (a_{18} = 20 + \frac{1}{20} = \frac{401}{20}).
[ \frac{101}{10} + \frac{401}{20} = \frac{202}{20} + \frac{401}{20} = \frac{603}{20}. ]
A) 502/30 → ❌ Valor incorreto.
B) 803/40 → ❌ Valor incorreto.
C) 603/20 → ✅ Correta (conforme cálculo).
D) 901/30 → ❌ Valor incorreto.
E) 301/10 → ❌ Valor incorreto.
Gabarito: letra C.
Link permanente: /questoes/fc036735