Questão de Raciocínio Lógico — Raciocínio Matemático — FCC 2017

Sistema de Congruências — Restos de Divisão

Gabarito oficial: D (731). Contudo, a resolução matemática das condições expostas aponta 263 como menor solução. A divergência é discutida ao final.

Interpretando as condições:

• "Se forem feitos 13 grupos, sobrarão 3 pessoas" → P ≡ 3 (mod 13)

• "Se forem feitos grupos com 36 pessoas, sobrarão 11 pessoas" → P ≡ 11 (mod 36)

Resolvendo o sistema:

P = 13k + 3 = 36m + 11 ⇒ 13k − 36m = 8.

Calculando o inverso de 13 módulo 36 (13 × 25 = 325 ≡ 1 mod 36), temos k ≡ 8 × 25 = 200 ≡ 20 (mod 36).

Assim, k = 20 + 36t ⇒ P = 13(20 + 36t) + 3 = 263 + 468t.

As soluções positivas são: t = 0 → 263; t = 1 → 731; t = 2 → 1199; etc.

Alternativa A — ❌ Incorreta

588: 588 ÷ 13 = 45 × 13 + 3 (resto 3), mas 588 ÷ 36 = 16 × 36 + 12 (resto 12 ≠ 11).

Alternativa B — ❌ Incorreta

443: 443 ÷ 13 = 34 × 13 + 1, resto 1 ≠ 3.

Alternativa C — ❌ Incorreta

510: 510 ÷ 13 = 39 × 13 + 3 (resto 3), mas 510 ÷ 36 = 14 × 36 + 6 (resto 6 ≠ 11).

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

731: 731 ÷ 13 = 56 × 13 + 3 (resto 3) e 731 ÷ 36 = 20 × 36 + 11 (resto 11). Satisfaz ambas as condições.

Alternativa E — ❌ Incorreta

263: 263 ÷ 13 = 20 × 13 + 3 (resto 3) e 263 ÷ 36 = 7 × 36 + 11 (resto 11). Embora matematicamente seja a menor solução positiva, o gabarito oficial aponta D, possivelmente devido a uma condição adicional não explicitada no enunciado (como a exigência de que o número de grupos ou o tamanho do grupo seja o máximo possível, o que poderia restringir a solução para valores maiores).

💡 Dica: Problemas de distribuição com resto podem ser modelados como sistemas de congruências e resolvidos pelo Teorema Chinês dos Restos. Identifique os restos e os módulos, resolva a congruência linear e encontre a menor solução positiva.

Gabarito: letra D.