Estatística · FCC · 2019 | Questão sqc-fc052760

Intervalo de Confiança para a Média com σ Conhecido

Gabarito: letra A. O intervalo de confiança de 95% para a média, com desvio padrão populacional conhecido, é dado por $\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Como o intervalo é [298,6 ; 301,4], a margem de erro é 1,4. Com $n=64$ , $z_{\alpha/2}=2$ (pois $P(Z>2)=0,025$ ) e $\frac{\sigma}{\sqrt{64}} = \frac{1,4}{2} = 0,7$ , obtemos $\sigma = 0,7 \times 8 = 5,6$ .

A questão trabalha com o intervalo de confiança para a média populacional quando a variância é conhecida. Nesse caso, a distribuição amostral da média segue uma distribuição normal, e o intervalo é construído a partir do valor crítico $z_{\alpha/2}$ da distribuição normal padrão. O intervalo é simétrico em torno da média amostral, e a margem de erro é a metade da amplitude do intervalo.

A fórmula do intervalo de confiança é:

IC = \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Onde:

$\bar{x}$ é a média amostral;
$z_{\alpha/2}$ é o valor crítico da normal padrão para o nível de confiança desejado;
$\sigma$ é o desvio padrão populacional;
$n$ é o tamanho da amostra.

Para um nível de confiança de 95%, temos $\alpha = 0,05$ e $\alpha/2 = 0,025$ . O enunciado fornece $P(Z > 2) = 0,025$ , o que significa que o valor crítico é $z_{\alpha/2} = 2$ .

O intervalo encontrado foi [298,6 ; 301,4]. A média amostral é o ponto médio do intervalo:

\bar{x} = \frac{298,6 + 301,4}{2} = \frac{600}{2} = 300

A margem de erro (metade da amplitude) é:

E = \frac{301,4 - 298,6}{2} = \frac{2,8}{2} = 1,4

A margem de erro também é dada por:

E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Substituindo os valores conhecidos:

1,4 = 2 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{64}}

1,4 = 2 \cdot \frac{\sigma}{8}

1,4 = \frac{\sigma}{4}

\sigma = 1,4 \times 4 = 5,6

Portanto, o desvio padrão populacional é 5,6.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O cálculo acima demonstra que $\sigma = 5,6$ . A margem de erro é 1,4, o valor crítico é 2 e a raiz de 64 é 8, resultando em $\sigma = 1,4 \times 4 = 5,6$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 1,4 corresponde à margem de erro do intervalo, não ao desvio padrão populacional. A banca troca a margem de erro pelo desvio padrão.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 2,8 corresponde à amplitude total do intervalo (301,4 - 298,6), não ao desvio padrão. A amplitude é o dobro da margem de erro.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 3,5 não corresponde a nenhum cálculo direto da questão. É um distrator numérico sem relação com os dados fornecidos.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 7,0 seria obtido se a margem de erro fosse 1,75 (7,0/4), o que não é o caso. É um distrator que não se sustenta com os dados do enunciado.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre margem de erro, amplitude e desvio padrão. A margem de erro é 1,4 (metade da amplitude 2,8), e o desvio padrão é obtido isolando $\sigma$ na fórmula, resultando em 5,6. Cuidado para não confundir esses três conceitos.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de intervalo de confiança, identifique primeiro a margem de erro (metade da amplitude) e o valor crítico $z$ . Depois, isole o desvio padrão na fórmula $E = z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Lembre-se de que $\sqrt{64} = 8$ .

Gabarito: letra A.