Questão de Estatística — Inferência estatística — FCC 2019
Estatística›Inferência estatística
Código
fc052761
Banca
FCC
Órgão
AFAP
Ano
2019
Cargo
Analista de Fomento - Economista
Em uma eleição para presidente de um clube estão inscritos somente dois candidatos (X e Y). Um teste estatístico foi realizado para averiguar se a proporção p de associados do clube que preferem X difere da proporção de associados do clube que preferem Y. Foram formuladas, então, as hipóteses H₀: p = 0,5 (hipótese nula, ou seja, as proporções das preferências por X e por Y são as mesmas) e H₁: p ≠ 0,5 (hipótese alternativa, ou seja, as proporções das preferências por X e por Y são diferentes). Com base em uma amostra aleatória de tamanho 5 dos associados, com reposição, foi estabelecida uma regra para o teste: “caso o número de associados da amostra que tem sua preferência por X não pertencer ao conjunto {1, 2, 3, 4}, rejeita-se H₀”: Se a for o nível de significância desse teste, então,
A0,01 ≤ α < 0,03.
Bα < 0,01.
Cα ≥ 0,07.
D0,05 ≤ α < 0,07.
E0,03 ≤ a < 0,05
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GabaritoD — 0,05 ≤ α < 0,07.
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Teste de hipóteses para proporção: nível de significância
Gabarito: letra D. O nível de significância α é a probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é verdadeira, ou seja, P(erro tipo I). Com a regra de rejeição dada (rejeitar H₀ se o número de preferências por X não pertencer a {1,2,3,4}), sob H₀: p=0,5, o número de preferências por X em 5 tentativas segue uma distribuição binomial com n=5 e p=0,5. A região de rejeição é {0,5}, e α = P(X=0) + P(X=5) = 2 × (0,5)⁵ = 2/32 = 0,0625, que está no intervalo 0,05 ≤ α < 0,07.
O teste de hipóteses para proporção compara a proporção observada na amostra com um valor de referência (aqui, p=0,5, indicando empate entre os candidatos). A hipótese nula H₀: p=0,5 afirma que não há diferença de preferência; a alternativa H₁: p≠0,5 é bilateral, pois a diferença pode ser para qualquer lado. A regra de decisão define uma região de rejeição: valores da estatística (número de preferências por X) que, se observados, levam a rejeitar H₀. O nível de significância α é exatamente a probabilidade de a estatística cair nessa região quando H₀ é verdadeira — ou seja, a probabilidade do erro tipo I.
Como a amostra é de tamanho 5 com reposição, o número de associados que preferem X, sob H₀, segue distribuição binomial com parâmetros n=5 e p=0,5. A região de rejeição é o complemento do conjunto {1,2,3,4}, ou seja, {0,5}. Assim, α = P(X=0) + P(X=5). Para uma binomial com p=0,5, cada resultado individual tem probabilidade (0,5)⁵ = 1/32. Portanto, α = 1/32 + 1/32 = 2/32 = 1/16 = 0,0625. Esse valor está no intervalo 0,05 ≤ α < 0,07, o que corresponde à alternativa D.
Caso
Atribuição (X ~ Binomial(5; 0,5))
Resultado
Rejeição — cauda inferior
X = 0
P = 1/32 = 0,03125
Rejeição — cauda superior
X = 5
P = 1/32 = 0,03125
Soma (α)
X ∈ {0, 5}
α = 2/32 = 0,0625
Intervalo do gabarito
0,05 ≤ α < 0,07
0,0625 ∈ [0,05; 0,07) → letra D
H₀ verdadeira
H₀ falsa
Não rejeita H₀
Erro tipo I (α = 0,0625)
Decisão correta
Rejeita H₀
Decisão correta
Erro tipo II (β)
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Alternativa A — ❌ Incorreta
Afirma que 0,01 ≤ α < 0,03. O valor calculado é 0,0625, que está bem acima desse intervalo. O candidato pode ter confundido a região de rejeição ou errado o cálculo da probabilidade binomial.
Alternativa B — ❌ Incorreta
Afirma que α < 0,01. Isso subestima drasticamente o nível de significância. O valor correto é 0,0625, muito maior que 0,01.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Afirma que α ≥ 0,07. O valor calculado é 0,0625, que é menor que 0,07. Portanto, não se encaixa nessa faixa.
Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO
O nível de significância é α = 0,0625, que está no intervalo 0,05 ≤ α < 0,07. O cálculo: sob H₀, X ~ Binomial(5; 0,5); região de rejeição {0,5}; α = P(X=0) + P(X=5) = 2 × (1/32) = 1/16 = 0,0625.
Alternativa E — ❌ Incorreta
Afirma que 0,03 ≤ α < 0,05. O valor 0,0625 é maior que 0,05, portanto não pertence a esse intervalo. O erro comum aqui é calcular apenas uma das caudas (por exemplo, P(X=0) = 1/32 ≈ 0,03125) e esquecer de somar a outra cauda (P(X=5)), obtendo um valor que cairia nessa faixa.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora o esquecimento da bilateralidade do teste. Como H₁: p ≠ 0,5, a região de rejeição tem duas caudas: {0} e {5}. Se o candidato calcular apenas P(X=0) = 1/32 ≈ 0,031, ele cai na alternativa E (0,03 ≤ α < 0,05). O correto é somar as duas caudas: α = 2/32 = 0,0625. Fique atento: em testes bilaterais, o nível de significância é a soma das probabilidades das duas regiões de rejeição.
PEGA ESSA DICA!
Para resolver questões de nível de significância com regra de decisão, identifique a região de rejeição e calcule a probabilidade de a estatística cair nela sob H₀. Se o teste for bilateral, lembre-se de somar as duas caudas. Treine com questões que envolvam distribuição binomial e teste de hipóteses para proporção.