Matemática · FCC · 2019 | Questão sqc-fc052877

Previsão de tendência linear: método dos mínimos quadrados

Gabarito: letra C (2024). A equação de tendência $T_t = 15 + 2{,}5t$ relaciona o lucro previsto com o índice temporal $t$ ; para um lucro de 55 milhões, resolvemos $55 = 15 + 2{,}5t$ , obtendo $t = 16$ . Como $t = 1$ corresponde a 2009, $t = 16$ corresponde a 2024 (2009 + 15).

A questão cobra a aplicação direta de uma equação de regressão linear obtida pelo método dos mínimos quadrados. Esse método ajusta uma reta da forma $T_t = a + bt$ aos dados históricos, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os previstos. Aqui, a banca já fornece a equação pronta — o trabalho do candidato é apenas substituir o valor de $T_t$ e isolar $t$ .

O ponto central é a correspondência entre o índice $t$ e o ano. O enunciado fixa que $t = 1$ representa 2009, $t = 2$ representa 2010, e assim por diante. Ou seja, o ano é dado por $2008 + t$ (pois $t = 1 \Rightarrow 2009$ ). Muitos candidatos erram ao somar $t$ diretamente a 2009, esquecendo que $t = 1$ já é 2009 — o que levaria a 2025 (alternativa B), um distrator clássico.

Vamos ao cálculo:

55 = 15 + 2{,}5t \Rightarrow 2{,}5t = 40 \Rightarrow t = \frac{40}{2{,}5} = 16

Com $t = 16$ : $2008 + 16 = 2024$ .

Lucro previsto por ano (t) — 2021: 47.5; 2022: 50; 2023: 52.5; 2024: 55; 2025: 57.5

Alternativa A — ❌ Incorreta

2021 corresponderia a $t = 13$ (2008 + 13). Substituindo na equação: $T_{13} = 15 + 2{,}5 \times 13 = 15 + 32{,}5 = 47{,}5$ milhões — bem abaixo de 55. O candidato que marcou esta opção provavelmente errou na resolução da equação ou na contagem dos anos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

2025 é o resultado de somar $t = 16$ diretamente a 2009 (2009 + 16 = 2025), ignorando que $t = 1$ já representa 2009. É a pegadinha mais comum: o índice $t$ não é o número de anos decorridos desde 2009, mas sim a posição na sequência que começa em 2009. O correto é $2008 + t$ .

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

2024 é o ano correspondente a $t = 16$ , pois $2008 + 16 = 2024$ . Confirmando: $T_{16} = 15 + 2{,}5 \times 16 = 15 + 40 = 55$ milhões. Bate exatamente com o valor pedido.

Alternativa D — ❌ Incorreta

2023 corresponderia a $t = 15$ (2008 + 15). O lucro previsto seria $T_{15} = 15 + 2{,}5 \times 15 = 15 + 37{,}5 = 52{,}5$ milhões — próximo, mas não igual a 55. Quem marcou esta opção provavelmente acertou o método, mas errou uma unidade na contagem de $t$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

2022 corresponderia a $t = 14$ (2008 + 14). O lucro previsto seria $T_{14} = 15 + 2{,}5 \times 14 = 15 + 35 = 50$ milhões — também abaixo de 55. Erro semelhante ao da alternativa D, mas com duas unidades de defasagem.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o índice $t$ e o ano. Como $t = 1$ é 2009, muitos somam $t$ a 2009 e caem na alternativa B (2025). O macete é lembrar que o ano = $2008 + t$ — ou, de forma mais segura, testar o valor de $t$ na equação e conferir se o lucro bate. Com treino, você enxerga essa armadilha de longe 💪

PEGA ESSA DICA!

Em questões de série temporal com equação de tendência, sempre verifique a correspondência entre o índice e o período. Monte uma pequena tabela mental: $t = 1 \to 2009$ , $t = 2 \to 2010$ , etc. Se o enunciado diz " $t = 1$ representa 2009", o ano é $2008 + t$ . Resolva a equação para $t$ e só então converta para o ano — nunca o contrário.

Gabarito: letra C