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Questão de Matemática — Probabilidade — FCC 2019

MatemáticaProbabilidade
Código
fc052882
Banca
FCC
Órgão
BANRISUL
Ano
2019
Cargo
Escriturário
Seja P(X) a probabilidade de ocorrência de um evento X. Dados 2 eventos A e B, a probabilidade de ocorrer pelo menos um dos dois eventos é igual a 4/5 e a probabilidade de ocorrer o evento A e o evento B é igual a 1/10. Se P(A) é igual a 1/2, então P(B) é igual a
  1. A1/4.
  2. B2/5.
  3. C3/10.
  4. D1/3.
  5. E1/2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 2/5.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a P(B) = 2/5, alternativa B..

A ideia por trás

A probabilidade da união de dois eventos mede a chance de ocorrer pelo menos um deles. Ela depende das probabilidades individuais e da interseção (a parte comum). A fórmula P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) corrige a dupla contagem dos elementos que estão nos dois eventos. Nesta questão, temos a união, a interseção e P(A), então basta isolar P(B) na fórmula.

O que a questão dá

  • P(A ∪ B) = 4/5

  • P(A ∩ B) = 1/10

  • P(A) = 1/2

O que queremos: a probabilidade de ocorrer o evento B, P(B)

Passo 1 — Escrever a fórmula da união

Precisamos relacionar os dados do enunciado. A probabilidade da união (pelo menos um) é dada pela soma das probabilidades individuais menos a interseção, porque os elementos comuns seriam contados duas vezes.

Por que esta fórmula: É a fórmula que liga P(A ∪ B), P(A), P(B) e P(A ∩ B). Como conhecemos três dessas quatro quantidades, ela permite achar a quarta.

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

De onde vem cada valor: P(A∪B)P(A \cup B) = enunciado: 4/5 · P(A)P(A) = enunciado: 1/2 · P(A∩B)P(A \cap B) = enunciado: 1/10

45=12+P(B)−110\frac{4}{5} = \frac{1}{2} + P(B) - \frac{1}{10}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir união com interseção: 'pelo menos um' é união (∪), não interseção (∩).

Passo 2 — Isolar P(B) na equação

Com a equação montada, precisamos deixar P(B) sozinho de um lado para descobrir seu valor. Isso é feito passando os termos conhecidos para o outro lado, invertendo as operações.

Por que esta fórmula: Manipulação algébrica: subtrair P(A) e somar P(A ∩ B) dos dois lados para isolar P(B).

P(B)=P(A∪B)−P(A)+P(A∩B)P(B) = P(A \cup B) - P(A) + P(A \cap B)

De onde vem cada valor: P(A∪B)P(A \cup B) = passo 1 · P(A)P(A) = passo 1 · P(A∩B)P(A \cap B) = passo 1

P(B)=45−12+110P(B) = \frac{4}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{10}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar a interseção, fazendo P(B) = P(A ∪ B) − P(A) = 3/10.

Passo 3 — Calcular P(B) com denominador comum

As frações têm denominadores diferentes (5, 2 e 10). Para somar e subtrair, precisamos do mesmo denominador. O mínimo múltiplo comum é 10.

Por que esta fórmula: Converter cada fração para o denominador 10: 4/5 = 8/10, 1/2 = 5/10, 1/10 já está. Depois efetuamos a operação.

P(B)=810−510+110P(B) = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} + \frac{1}{10}

De onde vem cada valor: 810\frac{8}{10} = passo 2: 4/5 com denominador 10 · 510\frac{5}{10} = passo 2: 1/2 com denominador 10 · 110\frac{1}{10} = passo 2: 1/10

P(B)=8−5+110=4 /10P(B) = \frac{8 - 5 + 1}{10} = \boxed{4\ /10}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a conversão: 4/5 = 8/10 (multiplica por 2), 1/2 = 5/10 (multiplica por 5).

Passo 4 — Simplificar a fração

A fração 4/10 pode ser simplificada dividindo numerador e denominador por 2, ficando 2/5. Isso facilita a comparação com as alternativas.

Por que esta fórmula: Simplificação de fração: dividir ambos os termos pelo mesmo número (2).

410=4÷210÷2=25\frac{4}{10} = \frac{4 \div 2}{10 \div 2} = \frac{2}{5}

De onde vem cada valor: 410\frac{4}{10} = passo 3

410=25=2 /5\frac{4}{10} = \frac{2}{5} = \boxed{2\ /5}
NÃO CAIA NESSA!

Não simplificar e marcar 4/10, que não aparece nas opções.

Resposta: P(B) = 2/5, alternativa B.

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