Questão de Matemática — Álgebra — FCC 2019

Posição de um número em ordem crescente

Gabarito: letra E (68). O número 343 ocupa a 68ª posição na lista crescente de todos os números de 3 algarismos formados apenas com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5. Para chegar a esse resultado, contamos quantos números vêm antes dele: todos os que começam com 1 ou 2 (50 números) e, entre os que começam com 3, todos os que têm o segundo algarismo menor que 4 (15 números), totalizando 65 números anteriores — logo, 343 é o 66º? Não: veja o cálculo correto abaixo, que considera também os que começam com 3 e têm segundo algarismo 4 e terceiro algarismo menor que 3.

O problema é um clássico de análise combinatória com ordenação: temos 5 algarismos disponíveis (1, 2, 3, 4, 5) e queremos formar números de 3 algarismos, podendo repetir algarismos? O enunciado diz "formados, apenas, pelos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5" — isso significa que cada número é composto exclusivamente por esses algarismos, mas não há restrição de repetição. Portanto, o total de números é $5 \times 5 \times 5 = 125$ (cada posição pode ser preenchida por qualquer um dos 5 algarismos).

Para achar a posição de 343, contamos quantos números são menores que ele e somamos 1. A contagem é feita por blocos, analisando casa a casa:

1. Primeiro algarismo menor que 3: pode ser 1 ou 2 → 2 opções. Para cada uma, os outros dois algarismos podem ser qualquer um dos 5 → $5 \times 5 = 25$ números por bloco. Total: $2 \times 25 = 50$ números.

1. Primeiro algarismo igual a 3 e segundo algarismo menor que 4: o segundo pode ser 1, 2 ou 3 → 3 opções. Para cada uma, o terceiro algarismo pode ser qualquer um dos 5 → 5 números por bloco. Total: $3 \times 5 = 15$ números.

1. Primeiro algarismo 3, segundo algarismo 4 e terceiro algarismo menor que 3: o terceiro pode ser 1 ou 2 → 2 números (341 e 342).

Somando os números anteriores: $50 + 15 + 2 = 67$. Como a posição é o número de anteriores + 1, temos $67 + 1 = 68$. Portanto, 343 é o 68º número da lista.

A pegadinha clássica é esquecer de contar os números que começam com 3 e têm segundo algarismo 4 (como 341 e 342), ou contar apenas os que começam com 1 e 2, achando que a resposta seria 51. A banca explora exatamente essa contagem incompleta.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a posição é 45. Esse número não corresponde a nenhuma contagem parcial óbvia: se contássemos apenas os que começam com 1 (25 números) e somássemos os que começam com 2 (25), teríamos 50, não 45. O candidato que erra aqui provavelmente contou apenas os números que começam com 1 e 2, mas errou na multiplicação (por exemplo, $2 \times 20 = 40$ e somou 5). O correto é $2 \times 25 = 50$ números antes dos que começam com 3.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a posição é 60. Esse valor é próximo do correto, mas falta contar os números 341 e 342. Se o candidato contasse os 50 que começam com 1 ou 2, mais os 15 que começam com 3 e têm segundo algarismo 1, 2 ou 3, teria 65 anteriores, e a posição seria 66 — não 60. O número 60 não tem uma justificativa combinatória direta; provavelmente é um distrator para quem erra na contagem dos blocos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a posição é 39. Esse número é bem menor que o correto. Se o candidato contasse apenas os números que começam com 1 (25) e os que começam com 2 (25), teria 50, então 39 não bate com nenhuma contagem parcial. Talvez o candidato tenha contado apenas os que começam com 1 e 2, mas com erro de multiplicação (por exemplo, $2 \times 20 = 40$ e subtraiu 1). O correto é 50 números antes dos que começam com 3.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a posição é 70. Esse valor é maior que o correto (68). O candidato que chega a 70 provavelmente contou os 50 que começam com 1 ou 2, mais os 15 que começam com 3 e têm segundo algarismo 1, 2 ou 3, mais os 5 que começam com 34 (341, 342, 343, 344, 345), totalizando 70 anteriores — mas isso conta o próprio 343 como anterior. O correto é contar apenas os menores que 343: 341 e 342 (2 números), não os 5 da faixa 34x.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A posição correta é 68. A contagem é: 50 números que começam com 1 ou 2, mais 15 números que começam com 3 e têm segundo algarismo 1, 2 ou 3, mais 2 números que começam com 34 e têm terceiro algarismo 1 ou 2 (341 e 342). Total de anteriores: $50 + 15 + 2 = 67$. Posição: $67 + 1 = 68$. O número 343 é o 68º da lista crescente.

Gabarito: letra E (68).