Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — FCC 2019

Combinações Simples com Restrição

Gabarito: letra C (30). O total de comissões de 3 pessoas entre 7 é $C_{7,3} = 35$. As comissões em que Ana e Beatriz estão juntas são formadas escolhendo as duas e mais 1 pessoa entre as outras 5: $C_{5,1} = 5$. Portanto, as comissões em que elas não estão juntas são $35 - 5 = 30$.

O problema envolve combinação simples, pois a ordem dos membros da comissão não importa. A restrição "Ana e Beatriz não estejam juntas" é resolvida pelo método do total menos o que não interessa (complementar). Esse é um padrão clássico em análise combinatória: quando a condição é negativa ("não juntas", "pelo menos um", "nenhum"), muitas vezes é mais fácil calcular o total e subtrair os casos proibidos.

Vamos detalhar o raciocínio:

1. Total de comissões de 3 pessoas entre 7:

   $C_{7,3} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

1. Comissões em que Ana e Beatriz estão juntas:

   Se Ana e Beatriz estão juntas, elas ocupam 2 vagas da comissão. A terceira pessoa pode ser qualquer uma das outras 5 pessoas (as 5 que não são Ana nem Beatriz). Logo:

   $C_{5,1} = 5$

1. Comissões em que Ana e Beatriz NÃO estão juntas:

   $35 - 5 = 30$

A pegadinha da banca está em o candidato calcular apenas o total (35) e esquecer de subtrair os casos em que as duas estão juntas, ou então calcular diretamente os casos em que estão juntas (5) e marcar a alternativa A (20) ou B (15) por erro de conta.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 20 não corresponde a nenhuma contagem direta do problema. Ele poderia surgir se o candidato calculasse $C_{6,3} = 20$, tratando Ana e Beatriz como se fossem uma única pessoa (ou seja, contando as comissões em que elas estão juntas como se fossem uma só). Mas isso não é o que se pede: queremos as comissões em que elas não estão juntas, e o cálculo correto é $35 - 5 = 30$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 15 também não é o resultado. Ele poderia vir de $C_{6,2} = 15$, que seria o número de comissões de 2 pessoas entre as 6 restantes (excluindo uma das duas), mas o problema pede comissões de 3 pessoas. Ou ainda, o candidato pode ter feito $C_{5,2} = 10$ e somado com $C_{5,1} = 5$, obtendo 15, mas isso não corresponde à condição "não juntas". O correto é subtrair do total, não somar casos parciais.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O total de comissões de 3 pessoas entre 7 é $C_{7,3} = 35$. As comissões em que Ana e Beatriz estão juntas são $C_{5,1} = 5$ (escolhe-se a terceira pessoa entre as 5 restantes). Portanto, as comissões em que elas não estão juntas são $35 - 5 = 30$. Esse é o método do complementar: calcular o total e subtrair os casos proibidos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 18 não tem relação direta com o problema. Ele poderia surgir de um erro de conta, como $C_{6,3} - C_{5,1} = 20 - 5 = 15$ (que daria 15, não 18), ou de uma combinação mal calculada. Nenhuma contagem correta leva a 18.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 25 também não é o resultado. Ele poderia vir de $C_{5,2} + C_{5,1} = 10 + 5 = 15$ (não 25), ou de $C_{6,2} + C_{5,1} = 15 + 5 = 20$ (não 25). Nenhuma combinação correta dos dados do problema resulta em 25.

Gabarito: letra C