Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FCC 2019

Juros simples: cálculo do período de aplicação

Gabarito: letra D (8 meses). Henrique recebeu R$ 20.000,00, gastou 37,5% (R$ 7.500,00) e aplicou o restante, R$ 12.500,00, a juros simples de 18% ao ano. Como resgatou R$ 14.000,00, os juros foram de R$ 1.500,00. Aplicando a fórmula de juros simples $J = C \cdot i \cdot n$, com a taxa anual convertida para meses (18% a.a. = 1,5% a.m.), obtém-se $n = 8$ meses.

A questão combina dois conteúdos básicos de matemática financeira: porcentagem (para achar o capital aplicado) e juros simples (para achar o prazo). O regime de juros simples é aquele em que os juros de cada período são calculados sempre sobre o capital inicial — não há "juros sobre juros". A fórmula central é:

onde $J$ são os juros, $C$ o capital, $i$ a taxa e $n$ o tempo. O montante é $M = C + J$, ou, de forma direta, $M = C \cdot (1 + i \cdot n)$.

A pegadinha típica da banca aqui é trabalhar com a taxa em anos e o prazo pedido em meses (ou vice-versa). No regime simples, as taxas são proporcionais: 18% ao ano equivale a 1,5% ao mês (18% ÷ 12). Quem esquece de converter a taxa acaba achando um prazo em anos e se perde nas alternativas.

Vamos ao passo a passo:

1. Calcular o capital aplicado:

   • Henrique gastou 37,5% de R$ 20.000,00: $37,5\% \times 20.000 = 0,375 \times 20.000 = 7.500$.

   • O restante aplicado foi $20.000 - 7.500 = 12.500$.

1. Calcular os juros:

   • Montante resgatado: R$ 14.000,00.

   • Juros: $J = M - C = 14.000 - 12.500 = 1.500$.

1. Aplicar a fórmula de juros simples:

   • Taxa: 18% ao ano = 1,5% ao mês = 0,015.

   • $1.500 = 12.500 \times 0,015 \times n$

   • $1.500 = 187,5 \times n$

   • $n = \frac{1.500}{187,5} = 8$ meses.

Portanto, o período foi de 8 meses.

Alternativa A — ❌ Incorreta

1 trimestre (3 meses). Se o prazo fosse 3 meses, os juros seriam $12.500 \times 0,015 \times 3 = 562,50$, e o montante seria R$ 13.062,50 — bem abaixo dos R$ 14.000,00. O aluno que marca esta opção provavelmente errou o cálculo do capital aplicado (usou os R$ 20.000,00 como capital) ou confundiu a taxa.

Alternativa B — ❌ Incorreta

10 meses. Com 10 meses, os juros seriam $12.500 \times 0,015 \times 10 = 1.875$, e o montante seria R$ 14.375,00 — acima do valor resgatado. É um distrator que surge de um erro comum: usar a taxa anual diretamente sem converter para mensal (18% a.a. × 10/12 = 15% → juros de R$ 1.875,00).

Alternativa C — ❌ Incorreta

1 semestre (6 meses). Os juros em 6 meses seriam $12.500 \times 0,015 \times 6 = 1.125$, montante de R$ 13.625,00. Não confere com o enunciado. Quem marca esta opção pode ter usado a taxa semestral proporcional (9% ao semestre) e calculado $12.500 \times 0,09 = 1.125$.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

8 meses. Como demonstrado, $n = \frac{1.500}{12.500 \times 0,015} = 8$ meses. Confere exatamente com o montante de R$ 14.000,00.

Alternativa E — ❌ Incorreta

1 ano e 2 meses (14 meses). Os juros em 14 meses seriam $12.500 \times 0,015 \times 14 = 2.625$, montante de R$ 15.125,00 — muito acima. Este distrator é típico de quem usa a taxa anual sem converter (18% a.a. × 14/12 = 21% → juros de R$ 2.625,00).

Gabarito: letra D.