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Questão de Matemática — Física Matemática — FCC 2019

MatemáticaFísica Matemática
Código
fc053302
Banca
FCC
Órgão
DETRAN-SP
Ano
2019
Cargo
Agente Estadual de Trânsito
Um automóvel faz metade do percurso de uma viagem a uma velocidade média de 80 km/h e a outra metade a 120 km/h de velocidade média. A velocidade média desenvolvida pelo automóvel durante a totalidade do percurso da viagem é, em km/h, de
  1. A96.
  2. B112.
  3. C104.
  4. D108.
  5. E100.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 96.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 96 km/h (alternativa A).

A ideia por trás

A velocidade média é a razão entre a distância total percorrida e o tempo total gasto: v_m = d_total / t_total. Ela mede, em média, quantos quilômetros o carro percorre por hora durante toda a viagem. Quando as distâncias percorridas em cada trecho são iguais, mas as velocidades são diferentes, os tempos gastos em cada trecho são diferentes: o trecho mais lento demora mais. Por isso, a velocidade média não é a média aritmética simples das velocidades (que seria 100 km/h), mas sim a média harmônica, que dá menos peso à velocidade maior, porque ela atua por menos tempo. Nesta questão, como o enunciado diz 'metade do percurso' (distâncias iguais), devemos usar a média harmônica das duas velocidades.

O que a questão dá

  • velocidade na primeira metade = 80 km/h

  • velocidade na segunda metade = 120 km/h

  • cada metade tem a mesma distância

O que queremos: a velocidade média em todo o percurso

Passo 1 — Escolher a fórmula da velocidade média

Precisamos de uma relação que envolva as duas velocidades e a distância. Como as distâncias são iguais, a velocidade média é a média harmônica, que leva em conta que o tempo em cada trecho é diferente. A média aritmética simples só valeria se os tempos fossem iguais, o que não é o caso.

Por que esta fórmula: Para distâncias iguais, a velocidade média é a média harmônica: v_m = 2 * v1 * v2 / (v1 + v2). Essa fórmula vem de v_m = d_total / t_total, onde t_total = d/v1 + d/v2 e d_total = 2d.

vm=2⋅v1⋅v2v1+v2v_m = \dfrac{2 \cdot v_1 \cdot v_2}{v_1 + v_2}

De onde vem cada valor: v1v_1 = enunciado: 80 km/h · v2v_2 = enunciado: 120 km/h

vm=2⋅80⋅12080+120v_m = \dfrac{2 \cdot 80 \cdot 120}{80 + 120}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a média aritmética (80+120)/2 = 100, esquecendo que os tempos são diferentes.

Passo 2 — Calcular o numerador da fração

Para simplificar a expressão, primeiro multiplicamos os números do numerador. Isso é aritmética básica: 2 vezes 80 vezes 120.

2⋅80⋅120=160⋅120=19200=192002 \cdot 80 \cdot 120 = 160 \cdot 120 = 19200 = \boxed{19200}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação, por exemplo, 280=160 e depois 160120=19200, mas confundir a ordem.

Passo 3 — Calcular o denominador da fração

Agora somamos as velocidades no denominador, pois a fórmula exige a soma v1+v2.

80+120=200=20080 + 120 = 200 = \boxed{200}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar e usar 80*120 no denominador.

Passo 4 — Dividir para obter a velocidade média

Com o numerador e o denominador calculados, basta dividir para encontrar a velocidade média. Essa é a última operação.

vm=19200200=96=96 km/hv_m = \dfrac{19200}{200} = 96 = \boxed{96\ \text{km/h}}
NÃO CAIA NESSA!

Fazer a divisão errada, por exemplo, 19200/200 = 96, mas confundir com 96.0.

Resposta: 96 km/h (alternativa A)

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