Matemática · FCC · 2019 | Questão sqc-fc053346

Divisores de um número natural

Gabarito: letra D (resto 4). O número de maneiras de dividir N balas em partes iguais é exatamente o número de divisores positivos de N. Como há 8 divisores e N ≤ 29, N deve ser um número com exatamente 8 divisores nesse intervalo; o único é 24, e 24 ÷ 5 deixa resto 4.

O problema explora a relação entre divisão em partes iguais e divisores. Quando dizemos que N balas podem ser divididas em partes iguais, estamos procurando os divisores positivos de N: cada divisor d corresponde a uma divisão em d partes (cada parte com N/d balas). A divisão trivial em uma só parte corresponde ao divisor 1. Portanto, o número de maneiras de dividir é o número total de divisores positivos de N.

Para um número N com fatoração $N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$ , o número de divisores é dado por $(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1)$ . Precisamos que esse produto seja igual a 8. As possibilidades para os expoentes são:

$8 = 8$ → N = $p^7$ (um primo elevado à sétima)
$8 = 4 \times 2$ → N = $p^3 \cdot q$ (dois primos distintos)
$8 = 2 \times 2 \times 2$ → N = $p \cdot q \cdot r$ (três primos distintos)

Agora, com a condição N ≤ 29, testamos:

$p^7$ : o menor é $2^7 = 128$ , que já ultrapassa 29. Não serve.
$p^3 \cdot q$ : com p = 2, q = 3 → $2^3 \cdot 3 = 24$ (serve); q = 5 → $2^3 \cdot 5 = 40$ (não serve). Com p = 3, $3^3 \cdot 2 = 54$ (não serve). Portanto, apenas 24.
$p \cdot q \cdot r$ : o menor produto de três primos distintos é $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$ , que já ultrapassa 29. Não serve.

Assim, o único N possível é 24. Dividindo 24 por 5, temos quociente 4 e resto 4. Portanto, o resto é 4.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O resto 3 não corresponde a nenhum N com 8 divisores e N ≤ 29. Se o candidato encontrasse N = 28 (que tem 6 divisores) e calculasse 28 ÷ 5 = 5 com resto 3, cairia nessa armadilha. Mas 28 não tem 8 divisores.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O resto 1 seria obtido com N = 26 (26 ÷ 5 = 5, resto 1), mas 26 tem apenas 4 divisores (1, 2, 13, 26). Não atende à condição.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O resto 2 seria obtido com N = 27 (27 ÷ 5 = 5, resto 2), mas 27 tem 4 divisores (1, 3, 9, 27). Não atende.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

N = 24 é o único número ≤ 29 com exatamente 8 divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. E 24 ÷ 5 = 4 com resto 4. A alternativa está correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O resto 0 ocorreria se N fosse múltiplo de 5, como 25 (que tem 3 divisores) ou 20 (que tem 6 divisores). Nenhum múltiplo de 5 ≤ 29 tem 8 divisores.

NÃO CAIA NESSA!

A banca não pede para achar N diretamente; ela pede o resto da divisão por 5. O candidato apressado pode testar números aleatórios e achar um resto que aparece em alguma alternativa, sem verificar se o número tem exatamente 8 divisores. O caminho seguro é: calcular o número de divisores pela fatoração e só então testar os candidatos.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver rápido, lembre-se da fórmula do número de divisores: se $N = p_1^{a_1} \cdots p_k^{a_k}$ , então o número de divisores é $(a_1+1)\cdots(a_k+1)$ . Com 8 divisores, as possibilidades de expoentes são (7), (3,1) ou (1,1,1). Teste os menores números de cada tipo e veja qual fica ≤ 29.

Gabarito: letra D.