Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FCC 2019

Porcentagem e proporção entre urnas

Gabarito: letra D (25%). A urna A recebe 10% da urna B mais uma parte da urna C, e o total transferido corresponde a 20% da quantidade inicial de A. Como 10% de B equivale a 20% de A, temos que A = 0,5·B, ou seja, A é 50% de B — portanto, A é inferior a B em 50% − 25%? Não: a conta correta é A = 0,5·B, logo A é 50% de B, e a diferença percentual é (B − A)/B = 50%. Mas o gabarito é 25%, então há um erro de interpretação: na verdade, o acréscimo de 20% em A vem apenas das bolas de C, e as bolas de B servem para igualar A e B. Vamos refazer: se A recebe 0,1·B de B e fica com A + 0,1·B + C = B, e o acréscimo total em A é 0,2·A, então 0,1·B + C = 0,2·A. Além disso, para A e B ficarem iguais: A + 0,1·B + C = B. Substituindo: A + 0,2·A = B → 1,2·A = B → A = B/1,2 = 0,8333·B. Logo, A é 83,33% de B, e a diferença é 16,67% — não bate com o gabarito. Precisamos reler o enunciado: "10% das bolas da urna B e algumas bolas da urna C terão de ser transferidas para a urna A, para que A e B fiquem com a mesma quantidade". Isso significa que, após a transferência, A e B têm o mesmo número. O acréscimo de 20% em A é o total recebido (de B e C). Então: A + 0,2·A = B → 1,2·A = B → A = B/1,2 = 5B/6. A diferença percentual é (B − A)/B = (B − 5B/6)/B = (1/6) ≈ 16,67%. Mas o gabarito é 25%. Há uma inconsistência: talvez o acréscimo de 20% seja apenas das bolas de C, e as de B apenas igualam. Vamos testar: se A recebe 0,1·B de B e C de C, e o total recebido é 0,2·A, então 0,1·B + C = 0,2·A. Para igualar: A + 0,1·B + C = B → A + 0,2·A = B → 1,2·A = B → A = 5B/6, diferença de 16,67%. Não fecha. Outra leitura: o acréscimo de 20% é sobre A, e as bolas de B transferidas são 10% de B, mas as de C são "algumas" — talvez a condição de igualdade seja A + 0,1·B = B − 0,1·B? Não, o texto diz que as bolas saem de B e C e vão para A. Vamos supor que a transferência de B é 10% de B, e a de C é tal que A fica com 20% a mais. Então A + 0,1·B + C = 1,2·A → 0,1·B + C = 0,2·A. E a igualdade final: A + 0,1·B + C = B − 0,1·B? Não, o texto não diz que B perde bolas para A? Diz: "10% das bolas da urna B e algumas bolas da urna C terão de ser transferidas para a urna A". Então B perde 0,1·B, e C perde algumas. Após a operação, A e B têm o mesmo número: A + 0,1·B + C = B − 0,1·B = 0,9·B. E o acréscimo em A é 0,1·B + C = 0,2·A. Então: A + 0,2·A = 0,9·B → 1,2·A = 0,9·B → A = 0,75·B. Logo, A é 75% de B, e a diferença é 25%. Agora sim! O erro estava em não considerar que B também perde bolas. Vamos detalhar: B perde 10% de si, ficando com 0,9·B. A recebe 0,1·B + C, e o total recebido é 20% de A. Então A final = A + 0,2·A = 1,2·A. Igualando: 1,2·A = 0,9·B → A = 0,75·B. Portanto, A é 75% de B, ou seja, A é inferior a B em 25%.

A questão mistura porcentagem com um sistema de equações. O ponto central é perceber que a urna B também perde bolas (10% de si mesma), então a igualdade final não é entre A original e B original, mas entre A acrescido e B reduzido. O candidato que esquece de descontar 10% de B erra a conta e cai nos distratores.

Vamos montar o sistema com clareza. Sejam $A$, $B$ e $C$ as quantidades iniciais. A operação transfere $0{,}1B$ de B para A e $x$ bolas de C para A. Após a operação:

• A fica com $A + 0{,}1B + x$;

• B fica com $B - 0{,}1B = 0{,}9B$.

O enunciado diz que A e B ficam iguais, então:

E que A tem um acréscimo de 20% sobre sua quantidade inicial, ou seja, o que A recebeu ($0{,}1B + x$) é igual a $0{,}2A$:

Substituindo a segunda equação na primeira:

Portanto, $A = 75\%$ de $B$. A diferença percentual é:

Ou seja, a urna A tem, inicialmente, uma quantidade de bolas inferior em 25% à da urna B.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que A é inferior a B em 75%. Esse valor corresponderia a A = 0,25·B, o que não satisfaz as condições. Se A fosse 25% de B, teríamos 1,2·A = 0,3·B ≠ 0,9·B. O número 75% é justamente o percentual que A representa de B (A = 75% de B), e a banca o oferece como distrator para quem confunde "A é 75% de B" com "A é inferior em 75%".

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que A é inferior a B em 40%. Isso implicaria A = 0,6·B. Verificando: 1,2·A = 0,72·B, mas o correto é 0,9·B. Não há nenhuma relação direta entre 40% e os dados do problema; é um distrator numérico sem correspondência com o sistema.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que A é inferior a B em 30%. Isso daria A = 0,7·B. Testando: 1,2·A = 0,84·B ≠ 0,9·B. O valor 30% não resolve o sistema. É outro distrator que surge de contas parciais mal feitas, como subtrair 20% de 50% ou algo similar.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $A = 0{,}75B$, logo A é 75% de B e, portanto, inferior em 25%. A conta-chave é $1{,}2A = 0{,}9B$, que considera tanto o acréscimo de 20% em A quanto a redução de 10% em B. Quem esquece de reduzir B obtém A = 5B/6 ≈ 83,33% de B, diferença de 16,67% — que nem aparece nas alternativas, forçando o candidato a revisar.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que A é inferior a B em 20%. Isso daria A = 0,8·B. Verificando: 1,2·A = 0,96·B ≠ 0,9·B. O valor 20% é o percentual de acréscimo de A, e a banca o usa como distrator para quem acha que a diferença é igual ao acréscimo.

Gabarito: letra D.