Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FCC 2019

Probabilidade com divisores de 72

Gabarito: letra E. A probabilidade é 1/2. O número 72 tem 12 divisores positivos, e exatamente 6 deles são múltiplos de 6 (6, 12, 18, 24, 36 e 72). A probabilidade é a razão entre os casos favoráveis e o total de casos: 6/12 = 1/2.

Para resolver, precisamos listar todos os divisores positivos de 72. Fatorando 72, temos $72 = 2^3 \times 3^2$. Os divisores são obtidos combinando as potências de 2 (0 a 3) com as potências de 3 (0 a 2):

• $2^0 \times 3^0 = 1$

• $2^0 \times 3^1 = 3$

• $2^0 \times 3^2 = 9$

• $2^1 \times 3^0 = 2$

• $2^1 \times 3^1 = 6$

• $2^1 \times 3^2 = 18$

• $2^2 \times 3^0 = 4$

• $2^2 \times 3^1 = 12$

• $2^2 \times 3^2 = 36$

• $2^3 \times 3^0 = 8$

• $2^3 \times 3^1 = 24$

• $2^3 \times 3^2 = 72$

Portanto, o conjunto de divisores é {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}, totalizando 12 elementos. Os múltiplos de 6 nesse conjunto são: 6, 12, 18, 24, 36 e 72 — exatamente 6 números. A probabilidade é $P = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A fração 1/18 seria a probabilidade de sortear um divisor específico entre todos os 12 divisores, mas não corresponde à proporção de múltiplos de 6. Não há fundamento para esse valor.

Alternativa B — ❌ Incorreta

1/12 seria a probabilidade de sortear um divisor específico (1 em 12), não a probabilidade de sortear um múltiplo de 6. O número de casos favoráveis é 6, não 1.

Alternativa C — ❌ Incorreta

1/6 seria a probabilidade de sortear um divisor específico entre 6 possibilidades, mas o total de divisores é 12, não 6. A fração correta é 6/12 = 1/2.

Alternativa D — ❌ Incorreta

1/4 seria a probabilidade se houvesse 3 múltiplos de 6 entre 12 divisores, mas na verdade há 6 múltiplos de 6. A proporção correta é o dobro disso.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Há 12 divisores positivos de 72, e 6 deles são múltiplos de 6. A probabilidade é $P = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Gabarito: letra E