Questão de Matemática — Álgebra — FCC 2019

Misturas e Porcentagem: Regra da Mistura

Gabarito: letra E (30 litros). A questão é resolvida pela regra da mistura (ou média ponderada): a quantidade de álcool na mistura final é a soma das quantidades de álcool de cada frasco. Montando o sistema $p + q = 110$ e $0{,}25p + 0{,}80q = 0{,}60 \times 110$, encontramos $p = 40$ e $q = 70$; a diferença pedida é $q - p = 30$ litros.

O problema envolve duas grandezas que se misturam (água e álcool) e uma concentração final. A chave é trabalhar com a quantidade de álcool (o componente de interesse), não com o volume total. Cada frasco P contribui com 25% do seu volume em álcool; cada frasco Q, com 80%. A mistura final, de 110 litros, tem 60% de álcool, ou seja, $0{,}60 \times 110 = 66$ litros de álcool.

A pegadinha clássica é tentar resolver apenas com a diferença de concentrações (80% − 25% = 55%) e esquecer que os volumes $p$ e $q$ são diferentes. O método correto é montar o sistema linear com duas equações: uma para o volume total e outra para a quantidade de álcool. Resolvendo:

1. $p + q = 110$

2. $0{,}25p + 0{,}80q = 66$

Multiplicando a segunda equação por 100 para eliminar decimais: $25p + 80q = 6600$. Da primeira, $p = 110 - q$. Substituindo: $25(110 - q) + 80q = 6600 \Rightarrow 2750 - 25q + 80q = 6600 \Rightarrow 55q = 3850 \Rightarrow q = 70$. Logo, $p = 110 - 70 = 40$. A diferença pedida é $q - p = 70 - 40 = 30$ litros.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a diferença é 20 litros. Esse valor não corresponde a nenhuma etapa do cálculo: seria o resultado se $q = 60$ e $p = 40$, mas isso não satisfaz a equação do álcool ($0{,}25 \times 40 + 0{,}80 \times 60 = 10 + 48 = 58 \neq 66$).

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a diferença é 15 litros. Não há combinação de $p$ e $q$ que satisfaça o sistema com essa diferença: se $q - p = 15$ e $p + q = 110$, teríamos $p = 47{,}5$ e $q = 62{,}5$, mas o álcool total seria $0{,}25 \times 47{,}5 + 0{,}80 \times 62{,}5 = 11{,}875 + 50 = 61{,}875 \neq 66$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a diferença é 10 litros. Se $q - p = 10$ e $p + q = 110$, então $p = 50$ e $q = 60$; o álcool total seria $0{,}25 \times 50 + 0{,}80 \times 60 = 12{,}5 + 48 = 60{,}5 \neq 66$. O valor 10 é um distrator comum para quem erra a montagem da equação do álcool.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a diferença é 25 litros. Se $q - p = 25$ e $p + q = 110$, então $p = 42{,}5$ e $q = 67{,}5$; o álcool total seria $0{,}25 \times 42{,}5 + 0{,}80 \times 67{,}5 = 10{,}625 + 54 = 64{,}625 \neq 66$. Esse valor pode surgir de um erro de arredondamento ou de uma montagem incorreta da equação.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A diferença é 30 litros. Como demonstrado, $q = 70$ e $p = 40$, logo $q - p = 30$. A alternativa espelha exatamente o resultado do sistema linear.

Gabarito: letra E