Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FCC 2019

Razão e Proporção: problema com hospedagem

Gabarito: letra C (24). A questão envolve duas razões sucessivas (sábado e domingo) e uma condição de igualdade entre o número de homens no domingo e o número de mulheres no sábado. Resolvendo o sistema, o número de homens que se hospedaram no domingo é 24.

Vamos organizar os dados. Seja $H_s$ e $M_s$ o número de homens e mulheres no sábado, e $H_d$ e $M_d$ no domingo. Do enunciado:

1. No sábado: $\frac{H_s}{M_s} = \frac{5}{7}$.

2. No domingo, entraram mais alguns homens (vamos chamar de $x$) e mais 14 mulheres, então $H_d = H_s + x$ e $M_d = M_s + 14$.

3. No domingo: $\frac{H_d}{M_d} = \frac{6}{7}$.

4. O número total de homens no domingo é igual ao número de mulheres no sábado: $H_d = M_s$.

Da condição 4, temos $H_s + x = M_s$. Da condição 1, $H_s = \frac{5}{7}M_s$. Substituindo: $\frac{5}{7}M_s + x = M_s \Rightarrow x = \frac{2}{7}M_s$.

Agora, da condição 3: $\frac{H_d}{M_d} = \frac{6}{7} \Rightarrow \frac{M_s}{M_s + 14} = \frac{6}{7}$. Multiplicando cruzado: $7M_s = 6(M_s + 14) \Rightarrow 7M_s = 6M_s + 84 \Rightarrow M_s = 84$.

Portanto, $x = \frac{2}{7} \times 84 = 24$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

30 seria o valor de $M_s$ se a razão final fosse outra, mas não corresponde ao cálculo correto. O erro típico é confundir o número de homens que entraram com o total de homens no domingo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

18 é um distrator que poderia surgir de uma montagem errada das equações, como inverter as razões ou esquecer a condição de igualdade. Não há nenhum valor no problema que resulte em 18.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $M_s = 84$ e $x = \frac{2}{7} \times 84 = 24$. O número de homens que se hospedaram no domingo é exatamente 24.

Alternativa D — ❌ Incorreta

12 é a metade de 24, e pode ser obtido se o aluno errar a fração (por exemplo, usar $\frac{1}{7}$ em vez de $\frac{2}{7}$). Não corresponde a nenhuma grandeza do problema.

Alternativa E — ❌ Incorreta

36 é um valor que poderia surgir se o aluno calcular $M_s$ incorretamente (por exemplo, $M_s = 126$) ou se confundir o total de homens no domingo com o número de novos homens. Não é o resultado correto.

Gabarito: letra C