Questão de Matemática — Álgebra — FCC 2019

Potenciação e Equações Exponenciais

Gabarito: letra C. O valor de $\frac{8^x}{2^y}$ é $2^{12}$, pois reescrevemos 8 como $2^3$ e aplicamos a propriedade de divisão de potências de mesma base: $\frac{8^x}{2^y} = \frac{(2^3)^x}{2^y} = 2^{3x-y}$. Como o enunciado fornece $3x - y = 12$, a expressão se reduz a $2^{12}$.

A questão exige o domínio de duas propriedades fundamentais da potenciação: a potência de potência, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, e a divisão de potências de mesma base, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. O caminho natural é transformar a base 8 em uma potência de 2, pois a base do denominador já é 2. Assim, a expressão original, que parece depender de duas variáveis, torna-se uma potência cujo expoente é exatamente a expressão dada no enunciado. A banca explora a habilidade de manipulação algébrica e o reconhecimento de que a informação fornecida ($3x - y = 12$) é o expoente da potência resultante.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $2^6$ seria obtido se o expoente resultante fosse 6, o que ocorreria se a equação dada fosse $3x - y = 6$. A banca utiliza esse distrator para testar se o candidato aplica corretamente a propriedade da potência de potência, pois um erro comum é calcular $8^x$ como $2^{3x}$ e, em seguida, subtrair $y$ diretamente, obtendo $2^{3x-y}$, mas com um valor incorreto para a expressão dada. Aqui, o candidato que erra a propriedade ou que confunde o valor de $3x - y$ (por exemplo, dividindo 12 por 2) chegaria a $2^6$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 4 é igual a $2^2$. Para chegar a esse resultado, o candidato precisaria obter um expoente 2, o que não é compatível com $3x - y = 12$. Esse distrator testa se o candidato confunde a operação de divisão com a de subtração dos expoentes de forma incorreta, ou se aplica a propriedade de forma equivocada, como se $\frac{8^x}{2^y} = 2^{3x - y}$ resultasse em $2^{12}$ e depois dividisse 12 por 6 (ou algo similar). Não há base algébrica para esse valor.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa correta é $2^{12}$. Vejamos o passo a passo:

1. Reescrevemos 8 como $2^3$: $8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$.

2. Aplicamos a propriedade da divisão de potências de mesma base: $\frac{2^{3x}}{2^y} = 2^{3x - y}$.

3. Substituímos o valor dado: $3x - y = 12$, logo $2^{3x - y} = 2^{12}$.

Portanto, a expressão vale $2^{12}$, que é a alternativa C.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $2^4$ seria obtido se o expoente resultante fosse 4, o que ocorreria se a equação dada fosse $3x - y = 4$. Esse distrator testa se o candidato confunde a operação de divisão com a de subtração dos expoentes de forma incorreta, ou se aplica a propriedade de forma equivocada, como se $\frac{8^x}{2^y} = 2^{3x - y}$ resultasse em $2^{12}$ e depois dividisse 12 por 3 (ou algo similar). Não há base algébrica para esse valor.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 32 é igual a $2^5$. Para chegar a esse resultado, o candidato precisaria obter um expoente 5, o que não é compatível com $3x - y = 12$. Esse distrator testa se o candidato confunde a operação de divisão com a de subtração dos expoentes de forma incorreta, ou se aplica a propriedade de forma equivocada, como se $\frac{8^x}{2^y} = 2^{3x - y}$ resultasse em $2^{12}$ e depois dividisse 12 por 2,4 (ou algo similar). Não há base algébrica para esse valor.

Gabarito: letra C