Questão de Matemática — Funções — FCC 2019

Equações Funcionais: resolvendo f(1/x) - 2f(x) = x

Gabarito: letra A. O valor de f(2) é -3/2. A chave é perceber que a equação dada vale para todo x ≠ 0, então podemos substituir x por 1/x, gerando um sistema linear com duas incógnitas f(x) e f(1/x). Resolvendo esse sistema, encontramos f(x) = -x/3 - 2/(3x), e para x = 2 obtemos f(2) = -3/2.

A questão cobra um tipo clássico de equação funcional: uma relação que envolve f(x) e f(1/x) simultaneamente. Como a igualdade vale para todo x ≠ 0, podemos "trocar" x por 1/x e obter uma segunda equação. Isso nos dá um sistema linear, que resolvemos para isolar f(x).

Vamos montar o sistema. Da equação original:

1. f(1/x) - 2f(x) = x

Agora, substituindo x por 1/x (o que é permitido, pois x ≠ 0 implica 1/x ≠ 0):

1. f(x) - 2f(1/x) = 1/x

Temos então:

• f(1/x) - 2f(x) = x

• f(x) - 2f(1/x) = 1/x

Para resolver, podemos multiplicar a primeira equação por 2 e somar com a segunda, eliminando f(1/x):

2·[f(1/x) - 2f(x)] = 2x → 2f(1/x) - 4f(x) = 2x

Somando com a segunda equação:

(2f(1/x) - 4f(x)) + (f(x) - 2f(1/x)) = 2x + 1/x

Os termos com f(1/x) se cancelam: 2f(1/x) - 2f(1/x) = 0. Sobra:

-3f(x) = 2x + 1/x

Portanto:

f(x) = -(2x + 1/x)/3 = -2x/3 - 1/(3x)

Agora, para x = 2:

f(2) = -2·2/3 - 1/(3·2) = -4/3 - 1/6 = -8/6 - 1/6 = -9/6 = -3/2

Confirmando o gabarito.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa A apresenta o valor -3/2, que é exatamente o resultado obtido ao substituir x = 2 na expressão f(x) = -2x/3 - 1/(3x). O cálculo passo a passo: f(2) = -4/3 - 1/6 = -8/6 - 1/6 = -9/6 = -3/2. Portanto, está correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa B traz 1/2, que é o valor de f(1/2) se aplicarmos a fórmula encontrada: f(1/2) = -2·(1/2)/3 - 1/(3·(1/2)) = -1/3 - 2/3 = -1. Mas o que se pede é f(2), não f(1/2). O candidato pode ter confundido a substituição, trocando x por 1/x na hora de calcular. O valor correto é -3/2.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C apresenta -1/2. Esse valor não corresponde a nenhuma substituição direta na expressão f(x) = -2x/3 - 1/(3x). Por exemplo, f(1) = -2/3 - 1/3 = -1, e f(3) = -2 - 1/9 = -19/9. O valor -1/2 é um distrator que pode surgir de um erro de sinal ou de uma simplificação incorreta. O correto é -3/2.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D traz 3/2, que é o oposto do valor correto. O erro típico aqui é esquecer o sinal negativo na expressão f(x) = -2x/3 - 1/(3x), obtendo 4/3 + 1/6 = 9/6 = 3/2. Mas a equação original tem o termo -2f(x), que gera o sinal negativo. Portanto, o valor correto é -3/2.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E apresenta 2, que é o valor de x que substituímos, não o valor de f(2). O candidato pode ter confundido a variável com o valor da função. O correto é -3/2.

Gabarito: letra A