Matemática · FCC · 2019 | Questão sqc-fc055840

Otimização: mínimo de 1/a + 1/b com a + b = 5

Gabarito: letra D. O menor valor de $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ com $a, b > 0$ e $a + b = 5$ é $\frac{4}{5}$ , obtido quando $a = b = 2{,}5$ . Isso decorre da desigualdade entre as médias aritmética e harmônica (ou da convexidade da função $f(x) = \frac{1}{x}$ ), que garante que a soma dos inversos é mínima quando os números são iguais.

A questão mistura dois temas: a relação entre soma e produto de dois números e a otimização de uma expressão racional. Vamos por partes.

O que a expressão representa?

Temos $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ . Somando as frações:

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}

Como $a + b = 5$ , a expressão vira:

\frac{5}{ab}

Ou seja, minimizar $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ é o mesmo que maximizar o produto $ab$ , já que 5 é constante. E o produto $ab$ é máximo, para uma soma fixa, quando $a = b$ (isso é consequência direta da desigualdade das médias: $\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}$ , com igualdade quando $a=b$ ).

Por que $a = b$ maximiza o produto?

Se $a + b = 5$ , então $b = 5 - a$ . O produto fica:

ab = a(5 - a) = 5a - a^2

Essa é uma função quadrática com concavidade para baixo (coeficiente de $a^2$ negativo). O vértice (ponto de máximo) ocorre em:

a = -\frac{5}{2 \cdot (-1)} = 2{,}5

Logo, $a = b = 2{,}5$ .

Calculando o mínimo:

\frac{1}{2{,}5} + \frac{1}{2{,}5} = 0{,}4 + 0{,}4 = 0{,}8 = \frac{4}{5}

Ou, usando a forma $\frac{5}{ab}$ :

ab = 2{,}5 \times 2{,}5 = 6{,}25 \Rightarrow \frac{5}{6{,}25} = 0{,}8 = \frac{4}{5}

Caso	Atribuição (a, b)	Produto ab	Expressão 1/a + 1/b = 5/ab	Resultado
1	a = b = 2,5	6,25	5/6,25 = 0,8	Mínimo (4/5)
2	a = 1, b = 4	4	5/4 = 1,25	Maior que 4/5
3	a = 2, b = 3	6	5/6 ≈ 0,833	Maior que 4/5
4	a → 0, b → 5	→ 0	→ ∞	Inviável (não é mínimo)

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{3}{5}$ como resposta. Esse valor seria obtido se o produto máximo fosse $\frac{25}{3} \approx 8{,}33$ , o que não ocorre. O candidato pode ter errado ao calcular o vértice da parábola ou ao confundir a maximização do produto com outra operação. O correto é $\frac{4}{5}$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{2}{5}$ . Esse valor corresponderia a um produto de $\frac{25}{2} = 12{,}5$ , que é maior que o máximo possível ( $6{,}25$ ). É um distrator numérico sem base no problema.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{1}{5}$ . Esse valor seria obtido se o produto fosse $25$ , o que é impossível, pois o produto máximo com soma 5 é $6{,}25$ . É um distrator que subestima o resultado.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O mínimo é $\frac{4}{5}$ . Como demonstrado, a expressão $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ é equivalente a $\frac{5}{ab}$ , e o produto $ab$ é máximo quando $a = b = 2{,}5$ , resultando em $ab = 6{,}25$ . Assim, $\frac{5}{6{,}25} = 0{,}8 = \frac{4}{5}$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta 5 como resposta. Esse valor seria obtido se $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 5$ , o que implicaria $ab = 1$ . Mas com $a + b = 5$ , o produto mínimo (quando um número tende a zero) tende a zero, e o máximo é $6{,}25$ . Portanto, 5 não é o mínimo.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre minimizar a soma dos inversos e maximizar o produto. Muitos candidatos tentam resolver por tentativa, testando valores inteiros, e erram. A chave é reconhecer que $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab} = \frac{5}{ab}$ , e que o mínimo ocorre quando $ab$ é máximo, ou seja, quando $a = b$ .

PEGA ESSA DICA!

Sempre que a questão pedir o mínimo de $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ com soma fixa, lembre-se: a soma dos inversos é mínima quando os números são iguais. Isso vem da desigualdade das médias. Na prova, você pode testar rapidamente: se $a = b = 2{,}5$ , o resultado é $0{,}4 + 0{,}4 = 0{,}8 = \frac{4}{5}$ .

Gabarito: letra D