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Questão de Matemática — Álgebra — FCC 2019

MatemáticaÁlgebra
Código
fc055894
Banca
FCC
Órgão
SABESP
Ano
2019
Cargo
Estagiário Ensino Médio Regular
Definem-se Números Amigos Quadráticos como sendo dois números tais que a soma dos algarismos do quadrado de um deles é igual ao outro e vice-versa. Considerando-se a maior solução da equação 2x2 − 25x − 13 = 0, seu número amigo quadrático será 
  1. A16
  2. B15
  3. C13
  4. D17
  5. E19
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GabaritoA — 16

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Números Amigos Quadráticos e Equação do 2º Grau

Gabarito: letra A. A maior raiz da equação 2x2−25x−13=02x^2 - 25x - 13 = 0 é x=13x = 13; o quadrado de 13 é 169, cuja soma dos algarismos é 1+6+9=161+6+9 = 16. Como 16 é o número amigo quadrático de 13, a resposta é 16.

A questão combina dois conteúdos: resolução de equação do 2º grau e uma definição nova (números amigos quadráticos). Vamos por partes.

Resolvendo a equação

A equação é 2x2−25x−13=02x^2 - 25x - 13 = 0. Identificamos os coeficientes: a=2a = 2, b=−25b = -25, c=−13c = -13.

Calculamos o discriminante:

Δ=b2−4ac=(−25)2−4⋅2⋅(−13)=625+104=729\Delta = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-13) = 625 + 104 = 729

Como Δ=729=272\Delta = 729 = 27^2, as raízes são racionais. Aplicando a fórmula de Bhaskara:

x=−b±Δ2a=25±274x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{25 \pm 27}{4}

Assim:

  • x1=25+274=524=13x_1 = \frac{25 + 27}{4} = \frac{52}{4} = 13

  • x2=25−274=−24=−0,5x_2 = \frac{25 - 27}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5

A maior raiz é x=13x = 13.

Aplicando a definição de número amigo quadrático

Dois números são amigos quadráticos se a soma dos algarismos do quadrado de um é igual ao outro, e vice-versa. Para x=13x = 13:

  • 132=16913^2 = 169

  • Soma dos algarismos: 1+6+9=161 + 6 + 9 = 16

Logo, o número amigo quadrático de 13 é 16. (Conferindo o vice-versa: 162=25616^2 = 256, e 2+5+6=132+5+6 = 13 — confirma a simetria.)

Análise das alternativas

  1. 1Resolver a equação
  2. 2Identificar a maior raiz (13)
  3. 3Elevar ao quadrado (169)
  4. 4Somar os algarismos (16)
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Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, a maior raiz é 13, e a soma dos algarismos de 132=16913^2 = 169 é 1+6+9=161+6+9 = 16. Portanto, o número amigo quadrático procurado é 16.

Alternativa B — ❌ Incorreta

15 seria o amigo quadrático de um número cujo quadrado tem soma de algarismos igual a 15. Por exemplo, 242=57624^2 = 576 e 5+7+6=185+7+6 = 18; não há relação com 13. O candidato pode ter confundido a soma dos algarismos de 13 (que é 4) ou feito 13+3=1613+3 = 16 de forma incorreta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

13 é a própria raiz da equação, não o amigo quadrático. A banca coloca a raiz como distrator para quem para na primeira etapa e não aplica a definição.

Alternativa D — ❌ Incorreta

17 não corresponde a nenhuma etapa do cálculo. Pode ter surgido de 13+413 + 4 (soma dos algarismos de 13) ou de um erro na soma 1+6+9=171+6+9 = 17 (esquecendo o 9).

Alternativa E — ❌ Incorreta

19 também não tem relação com o problema. Talvez o candidato tenha feito 13+613 + 6 (algarismo das unidades de 169) ou confundido com outra soma.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a pressa: muitos candidatos resolvem a equação, acham 13 e marcam a letra C, esquecendo de aplicar a definição de número amigo quadrático. Outros erram a soma dos algarismos de 169 (fazem 1+6+9=171+6+9 = 17 ou 1+6=71+6 = 7). O passo que falta é sempre o mesmo: depois de achar a raiz, calcule o quadrado e some os algarismos.

PEGA ESSA DICA!

Em questões com definições novas, leia com atenção o que é pedido e execute todas as etapas. Aqui: 1) resolva a equação; 2) identifique a maior raiz; 3) eleve ao quadrado; 4) some os algarismos. Escreva cada passo — isso evita erros de conta e de interpretação.

Gabarito: letra A

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