Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FCC 2019
Matemática›Aritmética e Problemas
Código
fc055949
Banca
FCC
Órgão
SABESP
Ano
2019
Cargo
Programa de Aprendizagem de Assistente Administrativo
Em um grupo de 60 pessoas, cada uma usa uma pulseira em cada braço, que podem ter a mesma cor ou não, escolhidas entre verde, azul ou preta. Cada uma das 120 pulseiras tem uma única cor, e sabe-se que quem usa uma pulseira preta não pode usar a outra azul, e ninguém usa pulseira azul nos dois braços. Sabe-se ainda que no total são usadas 55 pulseiras pretas e o número total de pulseiras verdes usadas excede em 15 o número total de pulseiras azuis usadas. Nessas condições, o número mínimo de pessoas que usam pulseira preta nos dois braços é
A1.
B7.
C14.
D20.
E27.
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GabaritoD — 20.
Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.
Problema de contagem com pulseiras
Gabarito: letra D (20). O problema combina restrições de cores com a busca pelo valor mínimo de pessoas com pulseira preta nos dois braços. A chave é perceber que, para minimizar quem usa preta nos dois braços, devemos maximizar quem usa preta em apenas um braço, respeitando a restrição de que quem usa preta não pode usar azul no outro braço. Com 55 pulseiras pretas e 120 pulseiras no total, o número mínimo de pessoas com preta nos dois braços é 20.
Vamos organizar os dados. Temos 60 pessoas, cada uma com 2 pulseiras, totalizando 120 pulseiras. As cores são verde (V), azul (A) e preta (P). As restrições são:
Quem usa pulseira preta não pode usar a outra azul (ou seja, se uma pessoa tem uma pulseira preta, a outra não pode ser azul).
Ninguém usa pulseira azul nos dois braços (ou seja, no máximo uma pulseira azul por pessoa).
Total de pulseiras pretas: 55.
O número de pulseiras verdes excede o de azuis em 15: V = A + 15.
Como o total é 120, temos:
P + V + A = 120
Substituindo V = A + 15 e P = 55:
55 + (A + 15) + A = 120
70 + 2A = 120
2A = 50
A = 25
Portanto, há 25 pulseiras azuis e V = 25 + 15 = 40 pulseiras verdes.
Agora, vamos analisar as combinações possíveis por pessoa. Cada pessoa pode ter:
Duas pulseiras da mesma cor (VV, AA, PP) ou de cores diferentes (VA, VP, AP).
Mas há restrições:
Não pode haver AA (ninguém usa azul nos dois braços).
Não pode haver AP (quem usa preta não pode usar azul no outro braço).
Portanto, as combinações possíveis são: VV, PP, VA, VP. (Note que AA e AP são proibidas).
Vamos definir as variáveis:
x = número de pessoas com VV
y = número de pessoas com PP
z = número de pessoas com VA
w = número de pessoas com VP
Temos que x + y + z + w = 60 (total de pessoas).
O número de pulseiras de cada cor:
Verdes: 2x + z + w = 40
Azuis: z = 25 (pois cada pessoa com VA contribui com 1 azul, e não há outras combinações com azul)
Pretas: 2y + w = 55
Da equação das azuis, z = 25.
Substituindo z = 25 na equação das verdes:
2x + 25 + w = 40 → 2x + w = 15
Da equação das pretas: 2y + w = 55
Da equação do total de pessoas: x + y + 25 + w = 60 → x + y + w = 35
Temos o sistema:
2x + w = 15
2y + w = 55
x + y + w = 35
Da equação 1: w = 15 - 2x
Substituindo na equação 3: x + y + (15 - 2x) = 35 → -x + y + 15 = 35 → y - x = 20 → y = x + 20
Substituindo w e y na equação 2: 2(x + 20) + (15 - 2x) = 55 → 2x + 40 + 15 - 2x = 55 → 55 = 55 (identidade)
Portanto, o sistema é consistente para qualquer x, com y = x + 20 e w = 15 - 2x.
Como w é o número de pessoas com VP, e w deve ser não negativo, temos 15 - 2x ≥ 0 → x ≤ 7,5. Como x é inteiro, x ≤ 7.
Queremos minimizar y (pessoas com PP). Como y = x + 20, para minimizar y, devemos minimizar x. O menor valor de x é 0 (pois x ≥ 0). Então y = 20.
Portanto, o número mínimo de pessoas com pulseira preta nos dois braços é 20.
Distribuição de pulseiras por pessoa — só Preta: 35; só Verde: 20; Preta∩Verde: 20
Alternativa A — ❌ Incorreta
Afirma que o mínimo é 1. Isso seria possível se quase todas as pulseiras pretas estivessem em pessoas com apenas uma preta, mas a restrição de que quem usa preta não pode usar azul limita o número de pessoas com uma preta e outra verde. Com 55 pretas, se apenas 1 pessoa tivesse duas pretas, sobrariam 53 pretas para outras pessoas, mas cada pessoa só pode ter no máximo uma preta se não for PP, e o número de pessoas com VP é limitado pela quantidade de verdes disponíveis. O cálculo mostra que o mínimo é 20.
Alternativa B — ❌ Incorreta
Afirma que o mínimo é 7. Esse número é o valor máximo de x (pessoas com VV), não o mínimo de y. Confunde o limite de x com o valor de y.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Afirma que o mínimo é 14. Esse número não corresponde a nenhuma variável do sistema. O valor 14 é a diferença entre o total de pulseiras verdes e azuis? Não, a diferença é 15. Não há base para esse número.
Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Como demonstrado, o sistema leva a y = x + 20, e o menor valor de x é 0, resultando em y = 20. Portanto, o número mínimo de pessoas com pulseira preta nos dois braços é 20.
Alternativa E — ❌ Incorreta
Afirma que o mínimo é 27. Esse número é maior que o mínimo real. Se x fosse 7 (máximo), y seria 27, mas isso é o máximo de y, não o mínimo. O mínimo é 20.
NÃO CAIA NESSA!
A banca tenta confundir o candidato fazendo-o acreditar que o mínimo de pessoas com duas pretas é obtido maximizando o número de pessoas com uma preta e uma verde. Mas a restrição de que quem usa preta não pode usar azul limita o número de pessoas com VP, pois o total de verdes é fixo. O candidato que não monta o sistema pode chutar valores como 7 ou 27, que são os extremos de x e y, respectivamente.
PEGA ESSA DICA!
Em problemas de contagem com restrições, monte um sistema de equações com as variáveis representando cada combinação possível. Identifique as combinações proibidas e as permitidas, e use as equações de total de pessoas e de cada cor para relacionar as variáveis. Para minimizar uma variável, maximize as outras dentro dos limites.