Matemática · FCC · 2019 | Questão sqc-fc055952

Aritmética – Meta de exercícios em blocos de 7 dias

Gabarito: letra C (22). Renato deve resolver exatamente 38 exercícios a cada 7 dias, e até 28 de março (25 dias) já resolveu 130. Como 25 dias correspondem a 3 blocos completos de 7 dias (21 dias) mais 4 dias, o total mínimo obrigatório nesses 21 dias é 3 × 38 = 114 exercícios. Os 130 resolvidos superam esse mínimo em 16, que podem ser distribuídos nos 4 dias extras (29 a 31 de março e mais um dia anterior). Para maximizar o que pode ser resolvido nos dias 29, 30 e 31, devemos concentrar nesses dias o máximo possível, respeitando o limite de 38 por bloco de 7 dias. O cálculo mostra que o máximo é 22 exercícios nesses três dias.

Vamos entender a lógica por trás da meta. A regra é: em qualquer janela de 7 dias consecutivos, o total de exercícios resolvidos deve ser exatamente 38. Isso não significa que ele resolva 38 a cada semana do calendário, mas sim que, se pegarmos qualquer período de 7 dias seguidos, a soma dos exercícios nesse período é 38. Essa é uma restrição forte, que limita como os exercícios podem ser distribuídos ao longo do tempo.

Uma consequência importante dessa regra é que o número de exercícios resolvidos em um dia é igual ao número resolvido 7 dias antes. Por exemplo, se no dia 4 de março ele resolveu x exercícios, então no dia 11 de março também deve resolver x, pois o bloco de 7 dias que começa no dia 4 e termina no dia 10 tem 38 exercícios, e o bloco que começa no dia 11 e termina no dia 17 também tem 38; subtraindo os dias comuns (5 a 10), os exercícios do dia 4 e do dia 11 devem ser iguais. Assim, a sequência de exercícios diários é periódica com período 7.

Portanto, para saber quantos exercícios ele pode fazer nos dias 29, 30 e 31 de março, precisamos saber quantos ele fez nos dias 22, 23 e 24 de março (pois 29 − 7 = 22, 30 − 7 = 23, 31 − 7 = 24). O enunciado nos dá o total até 28 de março: 130 exercícios. Vamos calcular quantos exercícios ele fez nos primeiros 25 dias (4 a 28 de março).

O período de 4 a 28 de março tem 25 dias. Como a sequência é periódica com período 7, o total de exercícios em 25 dias é igual a 3 blocos completos de 7 dias (21 dias) mais os 4 primeiros dias do padrão. Cada bloco de 7 dias tem 38 exercícios, então 3 blocos têm 114 exercícios. Os 130 exercícios totais menos 114 = 16 exercícios foram feitos nos 4 dias extras (que correspondem aos dias 4, 5, 6 e 7 de março, ou seja, os primeiros 4 dias do padrão).

Agora, queremos maximizar o número de exercícios nos dias 29, 30 e 31. Esses dias correspondem, pela periodicidade, aos dias 22, 23 e 24 de março, que por sua vez correspondem aos dias 1, 2 e 3 do padrão (se o dia 4 é o primeiro dia do padrão, então dia 22 é o dia 1 do padrão? Vamos ver: dia 4 é o dia 1 do padrão, dia 5 é o dia 2, ..., dia 10 é o dia 7, dia 11 é o dia 1 novamente, e assim por diante. Dia 22: 22 − 21 = 1, então é o dia 1 do padrão. Dia 23: dia 2. Dia 24: dia 3. Portanto, os dias 29, 30 e 31 correspondem aos dias 1, 2 e 3 do padrão.

Os 16 exercícios extras foram feitos nos dias 1, 2, 3 e 4 do padrão (dias 4, 5, 6 e 7 de março). Para maximizar a soma dos dias 1, 2 e 3, devemos colocar o máximo possível nesses dias, respeitando que a soma dos quatro dias (1, 2, 3 e 4) é 16. O máximo que podemos colocar nos dias 1, 2 e 3 é 16 (colocando 0 no dia 4), mas há outra restrição: cada bloco de 7 dias deve ter exatamente 38 exercícios. Isso implica que a soma dos dias 1 a 7 é 38, e a soma dos dias 1 a 4 é 16, então a soma dos dias 5, 6 e 7 é 38 − 16 = 22. Mas isso não limita diretamente os dias 1 a 3.

Na verdade, a restrição de que cada bloco de 7 dias tem 38 exercícios já está embutida na periodicidade. A única restrição adicional é que os exercícios diários são números inteiros não negativos. Portanto, para maximizar a soma dos dias 1, 2 e 3, podemos colocar 16 no dia 1, 0 no dia 2, 0 no dia 3 e 0 no dia 4, ou distribuir de outra forma. Mas o máximo da soma dos três primeiros dias é 16, pois a soma dos quatro é 16. No entanto, o gabarito é 22, então há algo mais.

Vamos reconsiderar: talvez a interpretação correta seja que a meta de 38 exercícios a cada 7 dias não significa que em qualquer janela de 7 dias o total seja 38, mas sim que a cada 7 dias ele deve resolver exatamente 38 exercícios, ou seja, a cada semana (de 7 dias) ele resolve 38. Mas o exemplo dado no enunciado: "se, por exemplo, no primeiro dia resolver 38 exercícios, nos próximos 3 dias não resolverá exercício algum" sugere que ele pode concentrar os 38 em um único dia, e nos outros 6 dias da semana não fazer nada. Isso indica que a regra é: em cada período de 7 dias consecutivos, o total é 38, mas a distribuição é livre.

Vamos calcular de outra forma. De 4 a 28 de março são 25 dias. Se ele seguiu estritamente o planejamento, então em qualquer bloco de 7 dias consecutivos dentro desse período, o total é 38. Vamos dividir os 25 dias em blocos: 4 a 10 (7 dias), 11 a 17 (7 dias), 18 a 24 (7 dias), e 25 a 28 (4 dias). Os três primeiros blocos completos têm 38 cada, totalizando 114. Os 4 dias restantes (25 a 28) têm 130 − 114 = 16 exercícios. Agora, os dias 29, 30 e 31 formam um novo bloco de 7 dias com os dias 25 a 28? Não, o bloco de 7 dias que contém 29, 30 e 31 é, por exemplo, de 25 a 31 (7 dias). Esse bloco deve ter 38 exercícios. Como nos dias 25 a 28 já foram feitos 16 exercícios, então nos dias 29, 30 e 31 devem ser feitos 38 − 16 = 22 exercícios. Esse é exatamente o gabarito!

Portanto, a chave é considerar o bloco de 7 dias que vai de 25 a 31 de março. Como o total nesse bloco deve ser 38, e já foram feitos 16 nos dias 25 a 28, o máximo (e na verdade o exato) que pode ser feito nos dias 29 a 31 é 22. Note que o enunciado pergunta "o número de exercícios a serem resolvidos é de, no máximo", e como a regra é exatamente 38 por bloco, o valor é fixo: 22. Não há margem para menos, pois o total do bloco deve ser 38.

Vamos verificar se há alguma outra interpretação que permita um número maior. Se a regra fosse apenas que a cada 7 dias ele resolve 38, mas não necessariamente em blocos fixos de calendário, poderíamos ter mais flexibilidade. Mas o exemplo dado e a forma como a questão é cobrada indicam que a interpretação correta é a de blocos consecutivos de 7 dias. Assim, a resposta é 22.

Alternativa A — ❌ Incorreta

8 seria o valor se os dias 25 a 28 tivessem 30 exercícios, mas eles têm 16. Não há base para esse número.

Alternativa B — ❌ Incorreta

24 seria o valor se os dias 25 a 28 tivessem 14 exercícios, mas eles têm 16. O cálculo correto é 38 − 16 = 22.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

22 é exatamente 38 − 16, onde 16 é o total de exercícios feitos nos dias 25 a 28 de março. Como o bloco de 7 dias de 25 a 31 deve ter 38 exercícios, os dias 29 a 31 devem totalizar 22.

Alternativa D — ❌ Incorreta

16 seria o valor se os dias 25 a 28 tivessem 22 exercícios, mas eles têm 16. O valor correto é 22.

Alternativa E — ❌ Incorreta

32 seria o valor se os dias 25 a 28 tivessem apenas 6 exercícios, mas eles têm 16. O valor correto é 22.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta fazer o candidato pensar que precisa distribuir os 130 exercícios ao longo dos 25 dias de forma arbitrária, esquecendo a restrição de que cada bloco de 7 dias deve ter exatamente 38. O erro comum é calcular 130 / 25 ≈ 5,2 por dia e depois multiplicar por 3, obtendo cerca de 15,6, ou tentar encaixar os 130 de outras formas. A chave é identificar o bloco de 7 dias que contém os dias 29 a 31 (25 a 31) e usar o total já feito nos dias 25 a 28.

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de "meta a cada 7 dias", sempre procure o bloco de 7 dias que contém o período pedido. Calcule quantos exercícios já foram feitos nos dias anteriores desse bloco e subtraia de 38. Isso resolve direto, sem precisar distribuir os totais.

Gabarito: letra C