Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FCC 2019

Frações e números decimais: soma que resulta em inteiro

Gabarito: letra C. Para que $0,23 + \frac{x}{y}$ seja um número inteiro, a fração $\frac{x}{y}$ deve completar a parte decimal de 0,23, ou seja, deve ser igual a $0,77 = \frac{77}{100}$. Assim, $x$ e $y$ devem ser, respectivamente, um número com algarismo das unidades igual a 7 (o 77) e um múltiplo de 10 (o 100). A alternativa C é a única que descreve exatamente essa condição.

Vamos entender o raciocínio por trás da questão. O enunciado diz que $0,23 + \frac{x}{y}$ é um número inteiro. Como $0,23$ é um decimal finito com duas casas, a fração $\frac{x}{y}$ precisa "completar" o valor para chegar a um inteiro. O inteiro mais próximo de 0,23 é 1, então:

Portanto, $x = 77$ e $y = 100$ (ou múltiplos proporcionais, como $x = 154$ e $y = 200$, mas a condição "necessária" é sobre as propriedades desses números).

Agora, analisemos as propriedades de $x = 77$ e $y = 100$:

• $x = 77$: o algarismo das unidades é 7. Não é múltiplo de 7 (77 é múltiplo de 7, mas isso não é necessário; por exemplo, $x = 154$ também serviria e não é múltiplo de 7).

• $y = 100$: é múltiplo de 10 (e também de 5, mas a condição mais restritiva é ser múltiplo de 10, pois o denominador precisa ser uma potência de 10 para que a fração seja um decimal exato).

A pegadinha da questão está em confundir as propriedades de $x$ e $y$ com divisibilidade por 7 e 10, quando na verdade o que importa é a estrutura decimal da fração. Vamos analisar cada alternativa.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $x$ é múltiplo de 7 e $y$ é múltiplo de 10. Embora $x = 77$ seja múltiplo de 7, isso não é necessário: $x = 154$ (que também serve, pois $\frac{154}{200} = 0,77$) não é múltiplo de 7. A condição correta para $x$ é ter algarismo das unidades igual a 7, não ser múltiplo de 7.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que $x$ é divisor de 7 e $y$ é divisor de 10. Isso está completamente errado: $x = 77$ não é divisor de 7 (é múltiplo), e $y = 100$ não é divisor de 10 (é múltiplo). A confusão aqui é entre divisor e múltiplo.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que $x$ tem algarismo das unidades igual a 7 e $y$ é múltiplo de 10. Isso é exatamente o que encontramos: $x = 77$ tem unidade 7, e $y = 100$ é múltiplo de 10. A condição é necessária porque, para que a soma resulte em inteiro, a fração deve ser um decimal exato com duas casas, o que exige denominador múltiplo de 10 e numerador com unidade 7 (para completar 0,77).

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que $x$ tem algarismo das dezenas igual a 2 ou 3 e $y$ é múltiplo de 5. $x = 77$ tem dezena 7, não 2 ou 3. Além disso, $y$ precisa ser múltiplo de 10, não apenas de 5 (embora 100 seja múltiplo de 5, a condição de múltiplo de 10 é mais restritiva e necessária).

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que $x$ tem algarismo das centenas igual a 1 e $y$ é divisor de 50. $x = 77$ não tem centena (é um número de dois algarismos), e $y = 100$ não é divisor de 50 (é múltiplo). A condição de $y$ ser divisor de 50 é totalmente equivocada.

Gabarito: letra C