Matemática · FCC · 2019 | Questão sqc-fc056210

Divisão proporcional composta (direta e inversa)

Gabarito: letra B. A quantidade de relatórios de cada um é diretamente proporcional ao tempo dedicado e inversamente proporcional à idade, o que gera a proporção $\frac{A}{6/30} = \frac{B}{9/40} = \frac{C}{18/60}$ , que simplificada fica $\frac{A}{1/5} = \frac{B}{9/40} = \frac{C}{3/10}$ . Multiplicando pelo MMC dos denominadores (40), obtemos $\frac{A}{8} = \frac{B}{9} = \frac{C}{12}$ . Como Celso registrou 160 relatórios a mais que André, temos $C - A = 160$ , e a constante de proporcionalidade é $k = 40$ . Logo, Bento registrou $9 \times 40 = 360$ relatórios.

A questão combina dois tipos de proporcionalidade: uma divisão diretamente proporcional ao tempo de trabalho e inversamente proporcional às idades. O primeiro passo é montar a proporção colocando as grandezas diretamente proporcionais no numerador e as inversamente proporcionais no denominador. Assim, para André, Bento e Celso, temos:

\frac{A}{6/30} = \frac{B}{9/40} = \frac{C}{18/60}

Simplificando as frações do denominador, obtemos:

\frac{A}{1/5} = \frac{B}{9/40} = \frac{C}{3/10}

Para eliminar as frações dos denominadores, calculamos o MMC de 5, 40 e 10, que é 40. Multiplicando cada fração por 40, a proporção se torna:

\frac{A}{8} = \frac{B}{9} = \frac{C}{12}

Agora, usando a propriedade das proporções, podemos escrever que cada parte é igual a uma constante $k$ multiplicada pelo respectivo denominador: $A = 8k$ , $B = 9k$ e $C = 12k$ . O enunciado informa que Celso registrou 160 relatórios a mais que André, ou seja, $C - A = 160$ . Substituindo, temos $12k - 8k = 160$ , logo $4k = 160$ e $k = 40$ . Portanto, Bento registrou $B = 9 \times 40 = 360$ relatórios.

NÃO CAIA NESSA!

A banca não dá o total de relatórios, mas sim a diferença entre as partes de Celso e André. O candidato que tenta resolver por regra de três simples ou que não simplifica as frações corretamente acaba se perdendo. O segredo é montar a proporção composta, simplificar e usar a diferença dada para encontrar a constante de proporcionalidade.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 420 seria obtido se a constante de proporcionalidade fosse $k = 46{,}67$ , o que não corresponde à diferença de 160 relatórios. Esse número não tem relação direta com os dados do problema.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a proporção simplificada é $\frac{A}{8} = \frac{B}{9} = \frac{C}{12}$ . Com a diferença $C - A = 160$ , encontramos $k = 40$ e, portanto, $B = 9 \times 40 = 360$ relatórios.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 450 seria obtido se a constante fosse $k = 50$ , o que implicaria $C - A = 12 \times 50 - 8 \times 50 = 200$ , e não 160. Portanto, não satisfaz a condição do enunciado.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 320 seria obtido se a constante fosse $k = 35{,}56$ , o que também não produziria a diferença de 160 relatórios entre Celso e André.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 480 seria obtido se a constante fosse $k = 53{,}33$ , o que resultaria em uma diferença $C - A = 213{,}33$ , divergente do valor fornecido.

Gabarito: letra B