Ernesto precisa comprar parafusos para realizar uma instalação hidráulica. Os parafusos são vendidos em pacotes, contendo quantidades diferentes de parafusos, cujos preços estão descritos na tabela abaixo.Quantidade de parafusos no pacote 25 10 4Preço, em R$, do pacote 24,00 10,00 4,50O mínimo, em R$, que Ernesto consegue gastar para adquirir no mínimo 42 parafusos é
A43,50
B43,00
C44,00
D42,00
E42,50
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GabaritoB — 43,00
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Problema de otimização com compra de parafusos
Gabarito: letra B. O menor gasto para obter pelo menos 42 parafusos é R$ 43,00, obtido comprando 1 pacote de 25, 1 pacote de 10 e 2 pacotes de 4 (total de 43 parafusos, custo de 24,00 + 10,00 + 2×4,50 = 43,00). A resolução exige testar as combinações possíveis de pacotes e escolher a de menor custo que atinja a quantidade mínima.
O problema é um clássico de otimização combinatória simples: temos três tamanhos de pacote (25, 10 e 4 parafusos) com preços respectivos (R$ 24,00, R$ 10,00 e R$ 4,50). O objetivo é minimizar o custo total, respeitando a restrição de que a soma das quantidades seja pelo menos 42. Não basta pegar o pacote com melhor preço por unidade — é preciso considerar que sobras de parafusos são permitidas (o enunciado pede "no mínimo 42"), então combinações que ultrapassam 42 podem ser mais baratas do que tentar acertar exatamente 42.
Vamos calcular o preço por parafuso de cada pacote para entender a lógica:
Pacote
Quantidade
Preço
Preço por parafuso
Grande
25
R$ 24,00
R$ 0,96
Médio
10
R$ 10,00
R$ 1,00
Pequeno
4
R$ 4,50
R$ 1,125
O pacote grande é o mais econômico por unidade, seguido do médio e do pequeno. Porém, a combinação ótima não é simplesmente a de menor preço unitário, pois precisamos atingir 42 unidades — e o pacote grande (25) deixa uma sobra que pode ser completada de forma mais barata com pacotes médios e pequenos.
A combinação de R$ 43,00 é a menor encontrada. Mas será que existe alguma combinação mais barata que atinja 42? Vamos pensar: o custo mínimo teórico seria usar apenas pacotes grandes (R$ 0,96/parafuso), mas 2 grandes custam R$ 48,00 — muito acima. A combinação de 1 grande + 1 médio + 2 pequenos dá 43 parafusos por R$ 43,00. Será que dá para fazer com 42 exatos? 42 = 25 + 10 + 7, mas não existe pacote de 7; 42 = 25 + 4×4 + 1, impossível; 42 = 10×4 + 2, impossível; 42 = 25 + 10 + 4 + 3, impossível. Como 42 não é combinação exata dos tamanhos disponíveis (25, 10 e 4), a solução ótima necessariamente ultrapassa 42. A combinação de 43 parafusos por R$ 43,00 é a mais barata entre as que ultrapassam 42.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a tentação de buscar exatamente 42 parafusos. Como 42 não é combinação exata de 25, 10 e 4, o candidato que tenta forçar 42 acaba somando pacotes de forma errada (por exemplo, 25 + 10 + 4 + 4 = 43, mas ele pode esquecer de considerar que 2 pacotes de 4 são necessários). Outra pegadinha é calcular o preço por unidade e achar que o pacote grande é sempre a melhor escolha, ignorando que a sobra pode ser completada de forma mais barata com pacotes menores. Aqui, a combinação vencedora usa 1 grande, 1 médio e 2 pequenos — e o candidato que não testar todas as possibilidades pode cair em R$ 44,00 (1 grande + 2 médios) ou R$ 43,50 (que não é atingível por nenhuma combinação).
R$ 43,50 não corresponde a nenhuma combinação possível de pacotes. As combinações que atingem pelo menos 42 parafusos têm custos como R$ 43,00, R$ 44,00, R$ 44,50, R$ 48,00 etc. O valor R$ 43,50 é um distrator: pode surgir de um cálculo errado, como 24,00 + 10,00 + 4,50 + 4,50 = 43,00 (que é o correto) ou de uma soma equivocada de 24,00 + 10,00 + 4,50 + 5,00 (inventando um pacote). Não há combinação de pacotes que resulte em R$ 43,50.
Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO
A combinação de 1 pacote de 25, 1 pacote de 10 e 2 pacotes de 4 totaliza 25 + 10 + 8 = 43 parafusos, que é ≥ 42, e custa 24,00 + 10,00 + 2×4,50 = R$ 43,00. Testando todas as combinações possíveis, nenhuma outra atinge pelo menos 42 parafusos com custo menor. Portanto, R$ 43,00 é o mínimo.
Alternativa C — ❌ Incorreta
R$ 44,00 corresponde à combinação de 1 pacote de 25 e 2 pacotes de 10 (25 + 20 = 45 parafusos, custo 24,00 + 20,00 = 44,00). Essa combinação é válida, mas não é a mínima, pois a combinação da letra B custa R$ 43,00. O candidato que escolhe apenas pacotes grandes e médios, sem considerar os pequenos, pode chegar a esse valor.
Alternativa D — ❌ Incorreta
R$ 42,00 é um valor que não atinge a quantidade mínima de 42 parafusos com os pacotes disponíveis. Para gastar R$ 42,00, as combinações possíveis seriam: 1 grande (25) + 1 médio (10) + 1 pequeno (4) = 39 parafusos (custo 38,50, mas não atinge 42); ou 4 médios (40) + 1 pequeno (4) = 44 parafusos, mas isso custaria 44,50. Não existe combinação que custe exatamente R$ 42,00 e atinja 42 parafusos. O valor R$ 42,00 é um distrator que sugere "comprar exatamente 42", mas isso é impossível com os tamanhos oferecidos.
Alternativa E — ❌ Incorreta
R$ 42,50 também não corresponde a nenhuma combinação possível. Por exemplo, 1 grande + 1 médio + 1 pequeno custa 38,50 (39 parafusos); 1 grande + 2 médios custa 44,00 (45 parafusos); 4 médios + 1 pequeno custa 44,50 (44 parafusos). Nenhuma combinação atinge 42 parafusos com custo R$ 42,50. O valor pode surgir de um cálculo errado, como 24,00 + 10,00 + 4,50 + 4,00 (inventando um pacote de 4 por R$ 4,00).