Estatística · FCC · 2019 | Questão sqc-fc056882

Probabilidade na Amostragem com Reposição (Distribuição Binomial)

Gabarito: letra D. A probabilidade de haver no máximo 2 homens em uma amostra de 4 empregados, com reposição, é de 52,48%. Isso porque a proporção de homens é de 3/5 (60%) e a de mulheres é de 2/5 (40%), e o número de homens na amostra segue uma distribuição binomial com parâmetros n = 4 e p = 0,6. A probabilidade pedida é a soma das probabilidades de 0, 1 ou 2 homens.

A questão envolve o conceito de amostragem aleatória simples com reposição, que garante a independência entre as extrações. Como a população é composta por mulheres e homens na razão de 2 para 3, a proporção de mulheres é $p_m = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5} = 0,4$ e a de homens é $p_h = \frac{3}{5} = 0,6$ . Como a amostragem é com reposição, cada extração é independente e a probabilidade de sucesso (sair homem) permanece constante em 0,6. Assim, o número de homens em 4 extrações segue uma distribuição binomial com $n = 4$ e $p = 0,6$ .

A probabilidade de obter exatamente $k$ homens em $n$ tentativas é dada pela fórmula da binomial:

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Queremos a probabilidade de no máximo 2 homens, ou seja, $P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ .

Calculando cada termo:

$P(X=0) = \binom{4}{0} (0,6)^0 (0,4)^4 = 1 \times 1 \times 0,0256 = 0,0256$
$P(X=1) = \binom{4}{1} (0,6)^1 (0,4)^3 = 4 \times 0,6 \times 0,064 = 0,1536$
$P(X=2) = \binom{4}{2} (0,6)^2 (0,4)^2 = 6 \times 0,36 \times 0,16 = 0,3456$

Somando: $0,0256 + 0,1536 + 0,3456 = 0,5248$ , que corresponde a 52,48%.

A pegadinha clássica aqui é inverter a proporção: muitos candidatos usam $p = 0,4$ (proporção de mulheres) em vez de $p = 0,6$ (proporção de homens), ou calculam a probabilidade de exatamente 2 homens em vez de "no máximo 2". Vamos analisar cada alternativa.

1Proporção de homens: 3/5 = 0,6
2P(X=0) = 0,0256
3P(X=1) = 0,1536
4P(X=2) = 0,3456
5Soma = 0,5248 = 52,48%

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Evento	Probabilidade	Cálculo
0 homens	2,56%	(0,4)⁴
1 homem	15,36%	4 × 0,6 × (0,4)³
2 homens	34,56%	6 × (0,6)² × (0,4)²
No máximo 2 homens	52,48%	Soma dos três eventos acima
3 ou 4 homens (complemento)	47,52%	100% − 52,48%

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 50,00% não corresponde a nenhum cálculo direto da binomial. Ele poderia ser obtido se alguém assumisse erroneamente que a probabilidade de no máximo 2 homens é simétrica (como se $p = 0,5$ ), mas com $p = 0,6$ a distribuição é assimétrica, e o resultado é 52,48%.

Alternativa B — ❌ Incorreta

49,92% é um valor que não surge dos cálculos corretos. Pode ser resultado de um erro de arredondamento ou de uma combinação incorreta dos termos da binomial. Nenhuma combinação de $p = 0,6$ e $n = 4$ produz esse valor.

Alternativa C — ❌ Incorreta

60,00% é exatamente a proporção de homens na população ( $p = 0,6$ ). O candidato que marca esta opção confunde a probabilidade de um único empregado ser homem com a probabilidade de no máximo 2 homens em 4 extrações. São conceitos distintos: a primeira é 60%, a segunda é 52,48%.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, $P(X \leq 2) = 0,5248 = 52,48\%$ . A soma das probabilidades de 0, 1 e 2 homens na amostra de 4, com $p = 0,6$ , resulta exatamente nesse valor. A alternativa espelha o cálculo correto da distribuição binomial.

Alternativa E — ❌ Incorreta

47,52% é o complemento de 52,48% (100% − 52,48%). Esse valor corresponde à probabilidade de mais de 2 homens (ou seja, 3 ou 4 homens). O candidato que marca esta opção calcula corretamente a binomial, mas inverte o evento: em vez de "no máximo 2", calcula "pelo menos 3".

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora duas confusões típicas: (1) usar a proporção de mulheres (0,4) como probabilidade de sucesso, o que levaria a um resultado diferente; (2) interpretar "no máximo 2" como "exatamente 2" ou como "mais de 2". Aqui, "no máximo 2" inclui 0, 1 e 2 homens. Fique atento: a probabilidade de 3 ou 4 homens é 47,52%, que é justamente a alternativa E — o complemento da correta.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de amostragem com reposição, identifique se o evento pedido é "no máximo", "pelo menos" ou "exatamente". Para "no máximo k", some as probabilidades de 0 até k. Para "pelo menos k", some de k até n, ou use o complemento (1 − P(X < k)). Treine com a fórmula da binomial até decorar os coeficientes binomiais pequenos, como $\binom{4}{0}=1$ , $\binom{4}{1}=4$ , $\binom{4}{2}=6$ .

Gabarito: letra D.