Questão de Raciocínio Lógico — Probabilidade — FCC 2019
Raciocínio Lógico›Probabilidade
Código
fc056999
Banca
FCC
Órgão
SEMEF de Manaus - AM
Ano
2019
Cargo
SEMEF Manaus - AM - Técnico em Web Design da Fazenda Municipal
As peças de um jogo estão todas dentro de um saco opaco. Elas vêm em 4 formatos diferentes e cada peça está numerada com um número dentre os seguintes: 1, 2, 3, 4 ou 5. A menor quantidade de peças que devem ser retiradas aleatoriamente do saco para garantir que se tenha, após a retirada, pelo menos 4 peças de um mesmo formato e 3 peças com a mesma numeração é
A15.
B10.
C24.
D18.
E13.
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GabaritoE — 13.
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Probabilidade - Princípio da Casa dos Pombos (Pior Cenário)
Gabarito: letra E (13). Para garantir que se tenha pelo menos 4 peças de um mesmo formato E pelo menos 3 peças com a mesma numeração, o menor número de retiradas é 13. Este é um problema clássico de pior caso: devemos encontrar a maior quantidade de peças que não satisfaz ambas as condições simultaneamente e somar 1.
Raciocínio
Temos 4 formatos e 5 números. Cada peça possui um formato e um número.
Para evitar 4 peças de um mesmo formato, podemos ter no máximo 3 de cada formato → total máximo = 4 × 3 = 12.
Para evitar 3 peças com o mesmo número, podemos ter no máximo 2 de cada número → total máximo = 5 × 2 = 10.
No entanto, queremos o maior conjunto que não tenha ambas as condições (ou seja, ou falta o formato ou falta o número). O pior cenário para garantir ambas é aquele que adia o cumprimento de uma delas ao máximo.
Com 12 peças, podemos ter exatamente 3 de cada formato. Nesse caso, não há 4 de um mesmo formato, portanto a condição dupla não é atendida. Assim, 12 peças não garantem o resultado.
Com 13 peças, pelo Princípio da Casa dos Pombos:
Como 13 > 12, necessariamente algum formato aparece pelo menos 4 vezes (13 ÷ 4 = 3,25 → teto 4).
Além disso, como o limite para evitar 3 de um mesmo número é 10 (5 × 2), e 13 > 10, algum número aparece pelo menos 3 vezes.
Portanto, qualquer conjunto de 13 peças contém simultaneamente 4 peças de um formato e 3 peças de um número.
Logo, 13 é a menor quantidade que garante a condição.
Peças por formato e número — só Formato: 12; só Número: 10; Formato∩Número: 13
Análise das Alternativas
Alternativa A — ❌ Incorreta
15 é maior que o necessário. O mínimo é 13, portanto esta alternativa está errada (embora também garantisse, não é a menor).
Alternativa B — ❌ Incorreta
10 peças não garantem a condição. É possível ter 10 peças com, por exemplo, 2 de cada número e distribuição de formatos sem atingir 4: formato A: 3, B: 3, C: 2, D: 2 (total 10). Nenhum formato com 4 e nenhum número com 3.
Alternativa C — ❌ Incorreta
24 é muito superior ao mínimo. O raciocínio mostra que 13 já é suficiente, então 24 está incorreto.
Alternativa D — ❌ Incorreta
18 também é maior que o mínimo. 13 é o valor correto.
Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO
13 é o menor número que força, no pior caso, a ocorrência simultânea de 4 peças de um formato e 3 peças de um número. A demonstração está no raciocínio acima.
PEGA ESSA DICA!
Em problemas de garantia (Princípio da Casa dos Pombos), sempre pense no pior cenário possível – a maior quantidade de elementos que ainda falha em atender à condição. Depois, acrescente 1. Nesta questão, o pior cenário que falha é 12 (sem formato com 4), mas o limite do número (10) já é automaticamente superado ao chegar em 13, forçando ambas as condições.