GabaritoE — 16.
Gabarito: letra E (16 bolas). Após as três trocas, cada um fica com 13 bolas (39/3). Retrocedendo as operações, descobre-se que Beto tinha inicialmente 16 bolas.
A resolução é feita por equações simples. Sejam (A), (B), (C) as quantidades iniciais de Ana, Beto e Carlos, respectivamente.
[ A + B + C = 39 ]
Operações:
Beto dá 5 a Carlos: (B' = B - 5), (C' = C + 5)
Carlos dá 4 a Ana: (C'' = C' - 4 = C + 1), (A' = A + 4)
Ana dá 2 a Beto: (A'' = A' - 2 = A + 2), (B'' = B' + 2 = B - 3)
Após as trocas, todos têm a mesma quantidade, que é (39/3 = 13). Portanto:
[ \begin{aligned} A + 2 &= 13 \Rightarrow A = 11\ B - 3 &= 13 \Rightarrow B = 16\ C + 1 &= 13 \Rightarrow C = 12 \end{aligned} ]
Logo, Beto tinha 16 bolas.
Alternativa E é a correta. As demais são números que não satisfazem as equações.
Análise das alternativas:
Caso | Atribuição (A, B, C) | Resultado |
|---|---|---|
Final (após trocas) | A=13, B=13, C=13 | Consistente |
Retroceder Ana→Beto | A=11, B=15, C=13 | Consistente |
Retroceder Carlos→Ana | A=11, B=15, C=12 | Consistente |
Retroceder Beto→Carlos | A=11, B=16, C=12 | Consistente (solução) |
Alternativa A (B=12) | A=11, B=12, C=16 | Contradição (B final = 9 ≠ 13) |
Alternativa B (B=15) | A=11, B=15, C=13 | Contradição (B final = 12 ≠ 13) |
Alternativa C (B=14) | A=11, B=14, C=14 | Contradição (B final = 11 ≠ 13) |
Alternativa D (B=13) | A=11, B=13, C=15 | Contradição (B final = 10 ≠ 13) |
12 não é o valor de Beto. Se B=12, então após as trocas Beto teria 9, diferente de 13.
15 também não serve.
14 não fecha.
13 é a quantidade final de cada um, não a inicial de Beto.
Conforme demonstrado, B=16.
Em problemas de trocas sucessivas, comece pelo final (quantidade igual) e retroceda cada operação na ordem inversa. Isso simplifica a resolução.
Gabarito: letra E.
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