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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FCC 2019

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
fc057970
Banca
FCC
Órgão
TRF - 4ª REGIÃO
Ano
2019
Cargo
Analista Judiciário - Área Judiciária
Os inscritos em um congresso receberam crachás com identificações que começam pelas letras A ou B, seguidas de três números. Do total de inscritos, 3/7 receberam crachás com a letra A. Em uma palestra 2/5 dos inscritos que receberam crachás com a letra A compareceram e todos os inscritos que receberam crachás com a letra B também compareceram. Havia 260 participantes nessa palestra. O total de inscritos nesse congresso é de
  1. A300
  2. B520
  3. C560
  4. D350
  5. E260
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 350

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Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 350 inscritos (alternativa D).

A ideia por trás

Frações representam partes de um todo. Quando dizemos '3/7 do total têm crachá A', estamos dividindo o total em 7 partes iguais e tomando 3 delas. A fração de um número é obtida multiplicando a fração pelo número. Neste problema, precisamos combinar frações de frações: primeiro a fração do total que tem crachá A, depois a fração desses que compareceram. A soma dos que compareceram (com A e com B) é dada, então montamos uma equação para achar o total. A chave é traduzir o texto em uma equação algébrica, usando uma variável para o total desconhecido.

O que a questão dá

  • 3/7 do total têm crachá A

  • 2/5 dos com crachá A compareceram

  • todos os com crachá B compareceram

  • 260 participantes na palestra

O que queremos: o total de inscritos no congresso

Passo 1 — Chamar o total de inscritos de T

Precisamos de um símbolo para representar o total desconhecido, para podermos escrever as frações em função dele. Isso transforma o problema em uma equação.

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de definir a variável e tentar resolver de cabeça, o que leva a erros de interpretação.

Passo 2 — Calcular a fração com crachá B

O enunciado diz que 3/7 têm crachá A, então o restante tem crachá B. Como o total é 1 (ou 7/7), subtraímos a fração de A para achar a de B.

Por que esta fórmula: A fração complementar é obtida subtraindo de 1: 1 - 3/7 = 4/7. Isso porque o total é dividido em apenas dois grupos: A e B.

B=1−37B = 1 - \frac{3}{7}

De onde vem cada valor: 11 = o total (100%) · 37\frac{3}{7} = enunciado: fração com crachá A

B=1−37=77−37=47=4 /7dototalte^mcrachaˊBB = 1 - \frac{3}{7} = \frac{7}{7} - \frac{3}{7} = \frac{4}{7} = \boxed{4\ /7 \text{do} \text{total} \text{t}ê\text{m} \text{crach}á \text{B}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair e usar 3/7 para B também.

Passo 3 — Calcular quantos com crachá A compareceram

O enunciado diz que 2/5 dos inscritos com crachá A compareceram. Como já sabemos que os com A são 3/7 do total, precisamos multiplicar as frações para achar a fração do total que compareceu com A.

Por que esta fórmula: Para achar uma fração de uma fração, multiplicamos as frações. Isso porque '2/5 de 3/7' significa (2/5) × (3/7).

Acomp=25×37A_{comp} = \frac{2}{5} \times \frac{3}{7}

De onde vem cada valor: 25\frac{2}{5} = enunciado: fração dos com A que compareceram · 37\frac{3}{7} = passo 1: fração do total com crachá A

Acomp=2×35×7=635A_{comp} = \frac{2 \times 3}{5 \times 7} = \frac{6}{35}

AcompA_{comp} = 6/35 do total compareceram com crachá A

NÃO CAIA NESSA!

Usar 2/5 do total em vez de 2/5 de 3/7, esquecendo de multiplicar as frações.

Passo 4 — Montar a equação da palestra

A palestra teve 260 participantes, que são a soma dos que compareceram com crachá A e com crachá B. Já temos as frações do total para cada grupo, então somamos e igualamos a 260.

Por que esta fórmula: O total de participantes é a soma das partes: A_comp + B_comp. Como B_comp é todos os com B, que são 4/7 do total, temos a equação.

635T+47T=260\frac{6}{35}T + \frac{4}{7}T = 260

De onde vem cada valor: 635T\frac{6}{35}T = passo 3: fração do total que compareceu com A · 47T\frac{4}{7}T = passo 2: fração do total com crachá B (todos compareceram) · 260260 = enunciado: participantes na palestra

635T+47T=260\frac{6}{35}T + \frac{4}{7}T = 260
NÃO CAIA NESSA!

Montar 2/5 T + 4/7 T = 260, esquecendo de multiplicar 2/5 por 3/7.

Passo 5 — Igualar os denominadores das frações

Para somar frações, elas precisam ter o mesmo denominador. O mínimo múltiplo comum entre 35 e 7 é 35, então convertemos 4/7 para uma fração com denominador 35.

Por que esta fórmula: Para converter, multiplicamos numerador e denominador pelo mesmo número: 4/7 = (4×5)/(7×5) = 20/35. Isso não altera o valor da fração.

47=4×57×5=2035\frac{4}{7} = \frac{4 \times 5}{7 \times 5} = \frac{20}{35}

De onde vem cada valor: 47\frac{4}{7} = passo 2: fração com crachá B · 55 = fator para o denominador 35 (35 ÷ 7 = 5)

47=2035=20 /35\frac{4}{7} = \frac{20}{35} = \boxed{20\ /35}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar o numerador também, ou usar denominador 7.

Passo 6 — Somar as frações

Agora que as frações têm o mesmo denominador, podemos somar os numeradores e manter o denominador.

Por que esta fórmula: Soma de frações com mesmo denominador: (a + b)/c. Aqui, 6/35 + 20/35 = (6+20)/35 = 26/35.

635T+2035T=2635T\frac{6}{35}T + \frac{20}{35}T = \frac{26}{35}T

De onde vem cada valor: 635T\frac{6}{35}T = passo 3 · 2035T\frac{20}{35}T = passo 5

635T+2035T=2635T=26 /35T\frac{6}{35}T + \frac{20}{35}T = \frac{26}{35}T = \boxed{26\ /35 \text{T}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar os denominadores também, resultando em 26/70.

Passo 7 — Isolar T na equação

A equação agora é (26/35)T = 260. Para achar T, multiplicamos ambos os lados pelo inverso de 26/35, que é 35/26.

Por que esta fórmula: Multiplicar pela fração inversa elimina o coeficiente de T, pois (26/35) × (35/26) = 1. Isso isola a variável.

T=260×3526T = 260 \times \frac{35}{26}

De onde vem cada valor: 260260 = enunciado: participantes na palestra · 3526\frac{35}{26} = inverso de 26/35

T=260×3526T = 260 \times \frac{35}{26}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir 260 por 26/35 em vez de multiplicar pelo inverso, ou simplificar errado.

Passo 8 — Calcular o valor de T

Agora é só fazer a aritmética: 260 × 35/26. Podemos simplificar 260 e 26 por 26, resultando em 10 × 35 = 350.

Por que esta fórmula: Multiplicação de frações: multiplica numeradores e denominadores. Simplificar antes facilita.

T=260×3526T = \frac{260 \times 35}{26}

De onde vem cada valor: 260260 = passo 7 · 3535 = passo 7 · 2626 = passo 7

T=260×3526=10×351=350=350 inscritosT = \frac{260 \times 35}{26} = \frac{10 \times 35}{1} = 350 = \boxed{350\ \text{inscritos}}
NÃO CAIA NESSA!

Não simplificar e errar a multiplicação, ou usar 260/26 = 10 e esquecer de multiplicar por 35.

Resposta: 350 inscritos (alternativa D)

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