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Questão de Matemática — Álgebra — FCC 2019

MatemáticaÁlgebra
Código
fc058087
Banca
FCC
Órgão
TRF - 4ª REGIÃO
Ano
2019
Cargo
Técnico Judiciário - Área Administrativa
Maria tem 3 anos de diferença do seu irmão mais velho. Daqui a 9 anos o produto das idades de ambos irá aumentar 288 unidades. A idade de Maria é
  1. A10
  2. B11
  3. C20
  4. D12
  5. E9
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GabaritoA — 10

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 10 anos (alternativa A).

A ideia por trás

Problemas de idade são traduzidos para equações algébricas: representamos as idades atuais com uma variável, expressamos as idades futuras somando os anos que passam, e montamos uma equação com a condição dada. A relação central é que o produto das idades futuras menos o produto das idades atuais é igual ao aumento informado. Nesta questão, precisamos montar essa equação e resolvê-la para achar a idade de Maria.

O que a questão dá

  • Maria tem 3 anos a menos que o irmão

  • Daqui a 9 anos o produto das idades aumenta 288

O que queremos: a idade atual de Maria

Passo 1 — Representar as idades atuais

Para transformar o problema em equação, precisamos de uma variável para a idade desconhecida. Como o irmão é mais velho, a idade dele é a de Maria mais 3.

Por que esta fórmula: Se Maria tem x anos, o irmão tem x+3, pois tem 3 anos a mais.

idade do irma˜o=x+3\text{idade do irmão} = x + 3

De onde vem cada valor: xx = idade de Maria (incógnita) · 33 = enunciado: diferença de 3 anos

NÃO CAIA NESSA!

Trocar a ordem: colocar o irmão como x e Maria como x-3, o que complica a equação.

Passo 2 — Calcular as idades daqui a 9 anos

O problema fala do produto das idades daqui a 9 anos, então precisamos somar 9 a cada idade atual.

Por que esta fórmula: Daqui a 9 anos, Maria terá x+9 e o irmão (x+3)+9 = x+12.

idade futura de Maria=x+9,idade futura do irma˜o=x+12\text{idade futura de Maria} = x + 9, \quad \text{idade futura do irmão} = x + 12

De onde vem cada valor: xx = passo 1 · 99 = enunciado: daqui a 9 anos · x+3x+3 = passo 1

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar 9 na idade do irmão, usando x+3 em vez de x+12.

Passo 3 — Montar a equação do aumento do produto

O aumento de 288 é a diferença entre o produto futuro e o produto atual. Isso gera a equação que resolve o problema.

Por que esta fórmula: O produto atual é x(x+3) e o futuro é (x+9)(x+12). A diferença entre eles é 288.

(x+9)(x+12)−x(x+3)=288(x+9)(x+12) - x(x+3) = 288

De onde vem cada valor: x+9x+9 = passo 2 · x+12x+12 = passo 2 · xx = passo 1 · x+3x+3 = passo 1 · 288288 = enunciado: aumento de 288

NÃO CAIA NESSA!

Igualar o produto futuro a 288 em vez de considerar a diferença.

Passo 4 — Expandir os produtos

Para resolver a equação, precisamos simplificar os produtos polinomiais.

Por que esta fórmula: Usamos a distributiva: (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd.

(x+9)(x+12)=x2+21x+108,x(x+3)=x2+3x(x+9)(x+12) = x^{2} + 21x + 108, \quad x(x+3) = x^{2} + 3x

De onde vem cada valor: x2x^{2} = multiplicação de x por x · 21x21x = 9x + 12x · 108108 = 912 · 3x3x = x3

NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma dos coeficientes de x, por exemplo, 9+12=21.

Passo 5 — Substituir na equação e simplificar

Com os produtos expandidos, substituímos na equação do passo 3 e simplificamos para isolar x.

Por que esta fórmula: Substituímos as expressões expandidas e subtraímos termo a termo.

(x2+21x+108)−(x2+3x)=288⇒18x+108=288(x^{2} + 21x + 108) - (x^{2} + 3x) = 288 \Rightarrow 18x + 108 = 288

De onde vem cada valor: x2+21x+108x^{2} + 21x + 108 = passo 4 · x2+3xx^{2} + 3x = passo 4 · 288288 = passo 3

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair o 3x, resultando em 24x em vez de 18x.

Passo 6 — Isolar x e achar a idade

Agora temos uma equação do 1º grau simples; isolamos x para obter a idade de Maria.

Por que esta fórmula: Subtraímos 108 dos dois lados e dividimos por 18.

18x=180⇒x=1018x = 180 \Rightarrow x = 10

De onde vem cada valor: 18x18x = passo 5 · 180180 = 288 - 108

18x=288−108⇒18x=180⇒x=180÷18=10 anos18x = 288 - 108 \Rightarrow 18x = 180 \Rightarrow x = 180 \div 18 = \boxed{10\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a subtração 288-108=180, ou dividir errado.

Resposta: 10 anos (alternativa A)

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