Matemática · FCC · 2019 | Questão sqc-fc058159

Geometria Espacial – Cubo pintado e cubinhos com faces pintadas

Gabarito: letra D (12). Em um cubo 3×3×3 formado por 27 cubinhos de 1 cm, os cubinhos com exatamente duas faces pintadas são exatamente aqueles que ocupam as posições das arestas do cubo grande, excluindo os vértices. Cada aresta do cubo grande contém 3 cubinhos: os 2 das extremidades (vértices, com 3 faces pintadas) e 1 central (com 2 faces pintadas). Como o cubo tem 12 arestas, o total é 12 × 1 = 12 cubinhos.

A questão clássica de pintura de cubos explora a posição do cubinho dentro do cubo maior: cada posição determina quantas faces ficam pintadas. Vamos organizar isso de forma que você nunca mais erre.

A lógica por trás da contagem

Quando um cubo de aresta $n$ (formado por $n^3$ cubinhos unitários) é pintado externamente, os cubinhos se dividem em quatro categorias, conforme a posição:

Posição	Faces pintadas	Quantidade (para $n=3$ )
Vértices	3	8
Arestas (sem vértices)	2	12 × (n − 2) = 12 × 1 = 12
Faces (sem arestas)	1	6 × (n − 2)² = 6 × 1 = 6
Interior	0	(n − 2)³ = 1

Para $n = 3$ , temos: 8 com 3 faces, 12 com 2 faces, 6 com 1 face e 1 sem face. Total: 8 + 12 + 6 + 1 = 27. Confere com o enunciado.

A pegadinha da banca está em confundir os cubinhos das arestas com os das faces ou com os vértices. O candidato que conta os cubinhos das arestas como 12 (pensando em cada aresta inteira) erra, pois cada aresta tem 3 cubinhos, mas os 2 das pontas são vértices e já foram contados. O correto é considerar apenas o cubinho central de cada aresta.

Cubo pintado (n=3): Vértices (3 faces) (8 cubinhos); Arestas (2 faces) (12 × (n−2) = 12); Faces (1 face) (6 × (n−2)² = 6); Interior (0 faces) ((n−2)³ = 1)

Alternativa A — ❌ Incorreta

15 não corresponde a nenhuma categoria direta. É um distrator que pode surgir de uma contagem equivocada, como somar os cubinhos das arestas (12) com os das faces (6) e subtrair algo, ou simplesmente um número aleatório. Não há 15 cubinhos com exatamente duas faces pintadas.

Alternativa B — ❌ Incorreta

6 é a quantidade de cubinhos com exatamente uma face pintada (os centrais de cada face). A banca troca a categoria: quem conta os cubinhos do centro de cada face (6) acha 6, mas a pergunta é sobre os que têm duas faces pintadas.

Alternativa C — ❌ Incorreta

8 é a quantidade de cubinhos com três faces pintadas (os vértices). É o distrator mais perigoso, pois 8 é um número muito comum em cubos (8 vértices). O candidato que pensa nos vértices ou que conta os cubinhos dos cantos erra.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

12 é exatamente o número de cubinhos com duas faces pintadas: um em cada aresta do cubo grande, excluindo os vértices. Como o cubo tem 12 arestas, são 12 cubinhos. A fórmula geral para um cubo de aresta $n$ é $12 \times (n - 2)$ ; para $n = 3$ , $12 \times 1 = 12$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

1 é a quantidade de cubinhos com nenhuma face pintada (o cubinho central do interior). A banca oferece esse número para quem confunde o cubinho interno com os das arestas.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre as quatro categorias de cubinhos. Os números 6, 8 e 1 correspondem, respectivamente, aos cubinhos com 1, 3 e 0 faces pintadas. O candidato que não visualiza a posição de cada cubinho no cubo maior cai em um desses distratores. A dica é sempre identificar a posição: vértice (3 faces), aresta (2 faces), face (1 face), interior (0 faces).

PEGA ESSA DICA!

Para questões de cubo pintado, memorize a tabela com as quantidades em função de $n$ (aresta do cubo grande). Ela resolve qualquer variação, inclusive quando o cubo é substituído por um paralelepípedo (aí a fórmula muda para $(a-2)(b-2)(c-2)$ no interior, etc.). Treine com cubos 3×3×3 e 4×4×4 para fixar.

Gabarito: letra D