Questão de Matemática — Álgebra Linear — FCC 2019

Sistemas de equações lineares: resolução por substituição

Gabarito: letra D. Substituindo as relações dadas, chegamos a $x = 5y$. Partimos de $w = x + y$ e $x = y + z$, e usamos $2w = 3z$ para eliminar $w$ e $z$, obtendo uma relação direta entre $x$ e $y$.

A questão apresenta um sistema de três equações com quatro incógnitas ($w$, $x$, $y$, $z$), mas o objetivo não é determinar valores únicos para todas — apenas expressar $x$ em função de $y$. Isso é típico de sistemas lineares com mais incógnitas do que equações: a solução não é única, mas certas relações entre as variáveis podem ser determinadas.

Vamos resolver passo a passo:

1. Da segunda equação, temos $z = x - y$.

2. Da primeira, $w = x + y$.

3. Substituindo na terceira: $2(x + y) = 3(x - y)$.

4. Expandindo: $2x + 2y = 3x - 3y$.

5. Isolando: $2y + 3y = 3x - 2x$, logo $5y = x$.

Portanto, $x = 5y$, o que corresponde à alternativa D.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $x = 2y$. Isso ocorreria se, por exemplo, tivéssemos $2w = 2z$ em vez de $2w = 3z$. Com os dados do enunciado, a relação correta é $x = 5y$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que $x = 3y$. Esse valor surgiria se a terceira equação fosse $2w = 2z$ ou se houvesse um coeficiente diferente. Não é o caso.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que $x = 4y$. Não há combinação das equações que resulte nesse valor; o coeficiente correto é 5.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, substituindo $w = x + y$ e $z = x - y$ em $2w = 3z$, obtemos $2(x + y) = 3(x - y)$, que simplifica para $x = 5y$. Portanto, esta é a alternativa correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que $x = 6y$. Esse valor seria obtido se a equação fosse $2w = 4z$ ou similar, mas não com os coeficientes fornecidos.

Gabarito: letra D