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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FCC 2019

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
fc058401
Banca
FCC
Órgão
SANASA Campinas
Ano
2019
Há duas torneiras independentes em uma banheira, uma com água quente e outra, fria. Se só a torneira de água quente está aberta, a banheira enche completamente em 24 minutos. Por outro lado, se apenas a torneira de água fria está aberta, a banheira leva 12 minutos para encher completamente. Com ambas as torneiras abertas simultaneamente, a banheira enche completamente em
  1. A6 minutos.
  2. B14 minutos.
  3. C8 minutos.
  4. D10 minutos.
  5. E18 minutos.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 8 minutos.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 8 minutos (alternativa C).

A ideia por trás

Este é um problema de vazão, ou seja, de quanto de um reservatório uma torneira enche por unidade de tempo. A vazão é medida em 'banheiras por minuto' e, quando duas torneiras trabalham juntas, suas vazões se somam, porque cada uma contribui com uma parte do volume total a cada minuto. A relação fundamental é: vazão = 1 / tempo, pois se uma torneira enche o tanque em T minutos, em 1 minuto ela enche a fração 1/T do tanque. Quando as vazões se somam, o tempo conjunto é o inverso da soma das vazões, e esse tempo é sempre menor que o menor tempo individual. Nesta questão, precisamos calcular as vazões individuais, somá-las e inverter para achar o tempo total.

O que a questão dá

  • tempo da torneira quente sozinha = 24 min

  • tempo da torneira fria sozinha = 12 min

O que queremos: o tempo para encher a banheira com as duas torneiras abertas

Passo 1 — Calcular a vazão da torneira quente

Para saber quanto da banheira cada torneira enche por minuto, precisamos transformar o tempo total em uma fração por minuto. Isso é a vazão, que é o inverso do tempo.

Por que esta fórmula: A vazão é definida como a fração do reservatório preenchida por unidade de tempo. Se uma torneira enche o tanque em T minutos, em 1 minuto ela enche 1/T do tanque.

Vquente=1TquenteV_{quente} = \frac{1}{T_{quente}}

De onde vem cada valor: TquenteT_{quente} = enunciado: 24 min

Vquente=124=1 /24dabanheiraporminutoV_{quente} = \frac{1}{24} = \boxed{1\ /24 \text{da} \text{banheira} \text{por} \text{minuto}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir vazão com tempo: usar 24 como vazão em vez de 1/24.

Passo 2 — Calcular a vazão da torneira fria

Assim como fizemos para a quente, precisamos da vazão da fria para depois somar as duas.

Por que esta fórmula: Mesma lógica: vazão é o inverso do tempo.

Vfria=1TfriaV_{fria} = \frac{1}{T_{fria}}

De onde vem cada valor: TfriaT_{fria} = enunciado: 12 min

Vfria=112=1 /12dabanheiraporminutoV_{fria} = \frac{1}{12} = \boxed{1\ /12 \text{da} \text{banheira} \text{por} \text{minuto}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de inverter o tempo, usando 12 diretamente.

Passo 3 — Somar as vazões das duas torneiras

Com as duas abertas, cada minuto enche uma fração que é a soma das frações individuais, pois as vazões se somam.

Por que esta fórmula: A vazão conjunta é a soma das vazões individuais, porque cada torneira contribui independentemente para o volume total.

Vtotal=Vquente+VfriaV_{total} = V_{quente} + V_{fria}

De onde vem cada valor: VquenteV_{quente} = passo 1 · VfriaV_{fria} = passo 2

Vtotal=124+112=1 /8dabanheiraporminutoV_{total} = \frac{1}{24} + \frac{1}{12} = \boxed{1\ /8 \text{da} \text{banheira} \text{por} \text{minuto}}
NÃO CAIA NESSA!

Tentar somar os tempos diretamente (24+12) em vez de somar as frações.

Passo 4 — Calcular o tempo total invertendo a vazão

Se juntas enchem 1/8 do tanque por minuto, o tempo para encher o tanque inteiro é o inverso dessa fração, pois tempo = 1 / vazão.

Por que esta fórmula: O tempo total é o inverso da vazão conjunta, porque vazão é fração por minuto e tempo é minutos por fração.

Ttotal=1VtotalT_{total} = \frac{1}{V_{total}}

De onde vem cada valor: VtotalV_{total} = passo 3

Ttotal=118=8 minT_{total} = \frac{1}{\frac{1}{8}} = \boxed{8\ \text{min}}
NÃO CAIA NESSA!

Fazer a média aritmética dos tempos (18 min) em vez de inverter a soma das vazões.

Resposta: 8 minutos (alternativa C)

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