Matemática · FCC · 2019 | Questão sqc-fc058408

Problema de Torneiras e Reservatórios

Gabarito: letra A (15 h). A chave é modelar o volume total de cada reservatório como o produto do fluxo resultante pelo tempo em que esse fluxo atuou. O primeiro reservatório, com fluxo constante $f$ L/min, enche em 24 h, então seu volume é $V = f \cdot 1440$ (convertendo 24 h em minutos). O segundo reservatório tem fluxo de entrada $f + 8{,}5$ L/min, mas, enquanto a saída está aberta, o fluxo resultante cai para $f - 5{,}1$ L/min. Igualando os volumes e resolvendo para o tempo $t$ em que a saída ficou aberta, obtém-se $t = 900$ min = 15 h.

Vamos montar o problema com calma. Seja $f$ o fluxo do primeiro reservatório (em L/min). O segundo tem fluxo de entrada $f + 8{,}5$ . Quando a saída está aberta, o fluxo resultante no segundo é $f - 5{,}1$ (pois $f + 8{,}5 - \text{saída} = f - 5{,}1 \Rightarrow \text{saída} = 13{,}6$ L/min, mas não precisamos disso diretamente).

O primeiro reservatório enche em 24 h = 1440 min com fluxo $f$ , então:

V = f \cdot 1440

O segundo reservatório tem dois períodos: durante $t$ minutos (saída aberta), o fluxo resultante é $f - 5{,}1$ ; durante $1440 - t$ minutos (saída fechada), o fluxo é $f + 8{,}5$ . O volume total é a soma:

V = (f - 5{,}1) \cdot t + (f + 8{,}5) \cdot (1440 - t)

Igualando os dois volumes:

f \cdot 1440 = (f - 5{,}1) \cdot t + (f + 8{,}5) \cdot (1440 - t)

Expandindo o lado direito:

f \cdot 1440 = f \cdot t - 5{,}1t + f \cdot 1440 - f \cdot t + 8{,}5 \cdot 1440 - 8{,}5t

Os termos $f \cdot t$ e $-f \cdot t$ se cancelam, e $f \cdot 1440$ aparece nos dois lados, então também se cancelam. Resta:

0 = -5{,}1t + 8{,}5 \cdot 1440 - 8{,}5t

0 = 12240 - 13{,}6t

13{,}6t = 12240

t = \frac{12240}{13{,}6} = 900 \text{ min} = 15 \text{ h}

Portanto, a saída de água do segundo reservatório ficou aberta por 15 horas.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O cálculo acima confirma: $t = 900$ minutos, que equivalem a 15 horas. A modelagem correta exige considerar que o segundo reservatório tem dois regimes de fluxo (com e sem a saída aberta), e a soma dos volumes desses dois períodos deve igualar o volume do primeiro reservatório.

Alternativa B — ❌ Incorreta

12 h = 720 min. Se a saída ficasse aberta por 720 min, o volume do segundo seria $(f - 5{,}1) \cdot 720 + (f + 8{,}5) \cdot 720 = f \cdot 1440 + (8{,}5 - 5{,}1) \cdot 720 = V + 3{,}4 \cdot 720 = V + 2448$ L, ou seja, maior que o volume do primeiro. Isso violaria a condição de volumes iguais.

Alternativa C — ❌ Incorreta

13 h = 780 min. Analogamente, o volume do segundo seria $V + 3{,}4 \cdot 780 = V + 2652$ L, ainda maior que o volume do primeiro. O tempo precisa ser maior para que o período de fluxo reduzido compense o ganho do período de fluxo aumentado.

Alternativa D — ❌ Incorreta

14 h = 840 min. O volume do segundo seria $V + 3{,}4 \cdot 840 = V + 2856$ L, continuando maior que o volume do primeiro. A diferença de fluxo (8,5 L/min a mais na entrada, mas 5,1 L/min a menos com a saída aberta) exige um tempo de saída aberta maior que 14 h para equilibrar.

Alternativa E — ❌ Incorreta

11 h = 660 min. O volume do segundo seria $V + 3{,}4 \cdot 660 = V + 2244$ L, maior que o volume do primeiro. Quanto menor o tempo de saída aberta, maior o volume acumulado no segundo, pois o fluxo de entrada é sempre maior que o do primeiro.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre "fluxo de entrada" e "fluxo resultante". O segundo reservatório tem entrada de $f + 8{,}5$ , mas, com a saída aberta, o fluxo efetivo é $f - 5{,}1$ . Muitos candidatos somam os fluxos como se fossem simultâneos ou esquecem de considerar os dois períodos separadamente. A sacada é que o volume total é a soma dos volumes de cada período, e não um único produto.

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de reservatórios com fluxos que mudam ao longo do tempo, divida o tempo total em períodos de fluxo constante e monte a equação de volume como soma de produtos (fluxo × tempo). Converta tudo para a mesma unidade (minutos) antes de calcular. Aqui, a equação $f \cdot 1440 = (f - 5{,}1)t + (f + 8{,}5)(1440 - t)$ resolve tudo — os termos com $f$ se cancelam, e sobra uma equação simples em $t$ .

Gabarito: letra A