Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FCC 2019

Razão e Proporção: problema com transferência de carrinhos

Gabarito: letra E. Sejam $L$ e $E$ os números de carrinhos de Lucas e Estela. A razão inicial é $L/E = 3/5$, e após Lucas dar 12 carrinhos, Estela fica com o triplo de Lucas: $E + 12 = 3(L - 12)$. Resolvendo o sistema, obtemos $L = 36$ e $E = 60$, totalizando 96 carrinhos.

O problema combina dois conceitos: razão (comparação por divisão entre duas grandezas) e equação do 1º grau (para modelar a condição após a transferência). A razão $3/5$ significa que, para cada 3 carrinhos de Lucas, Estela tem 5. Isso nos permite escrever $L = 3k$ e $E = 5k$, onde $k$ é uma constante de proporcionalidade. Essa parametrização é a chave para transformar o enunciado em equações.

A segunda informação descreve uma transferência: Lucas perde 12 carrinhos ($L - 12$) e Estela ganha 12 ($E + 12$). O novo estado é $E + 12 = 3(L - 12)$. Substituindo as expressões em função de $k$, resolvemos para $k$ e encontramos os valores individuais. O total é simplesmente a soma $L + E$.

A pegadinha clássica da banca é inverter o sentido da transferência (quem dá e quem recebe) ou montar a equação como $E - 12 = 3(L + 12)$, o que levaria a um resultado diferente. Vamos resolver passo a passo.

Resolução detalhada

1. Parametrizar pela razão: $L = 3k$ e $E = 5k$.

2. Aplicar a transferência: após Lucas dar 12, ele fica com $3k - 12$ e Estela com $5k + 12$.

3. Montar a equação: $5k + 12 = 3(3k - 12)$.

4. Resolver: $5k + 12 = 9k - 36 \Rightarrow 48 = 4k \Rightarrow k = 12$.

5. Calcular os valores: $L = 3 \times 12 = 36$ e $E = 5 \times 12 = 60$.

6. Total: $36 + 60 = 96$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

88. Esse valor não corresponde a nenhuma combinação inteira de $L$ e $E$ que satisfaça a razão $3/5$ e a condição da transferência. Se o total fosse 88, teríamos $L = 33$ e $E = 55$ (razão $3/5$), mas após a transferência $55 + 12 = 67$ e $3 \times (33 - 12) = 63$, que não são iguais. O erro aqui é provavelmente um cálculo incorreto na resolução da equação.

Alternativa B — ❌ Incorreta

84. Com total 84, teríamos $L = 31,5$ e $E = 52,5$, o que não é possível pois o número de carrinhos deve ser inteiro. Isso indica que a razão $3/5$ não é respeitada com esse total. O candidato pode ter errado ao resolver a equação, obtendo um valor de $k$ não inteiro.

Alternativa C — ❌ Incorreta

80. Com total 80, teríamos $L = 30$ e $E = 50$ (razão $3/5$). Após a transferência: $50 + 12 = 62$ e $3 \times (30 - 12) = 54$, que não são iguais. Esse valor surge se o candidato montar a equação de forma incorreta, por exemplo, esquecendo de multiplicar por 3 ou invertendo a operação.

Alternativa D — ❌ Incorreta

92. Com total 92, teríamos $L = 34,5$ e $E = 57,5$, novamente não inteiros. Isso indica um erro na resolução da equação, possivelmente ao isolar $k$ ou ao fazer a distributiva. O valor correto de $k$ é 12, e qualquer outro valor leva a um total diferente.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

96. Como calculado, $L = 36$ e $E = 60$, totalizando 96. Verificação: razão inicial $36/60 = 3/5$ ✓. Após Lucas dar 12: Lucas fica com 24 e Estela com 72; $72 = 3 \times 24$ ✓. A alternativa está correta e é a única que satisfaz todas as condições do enunciado.

Gabarito: letra E.