Questão de Matemática — Álgebra — FCC 2019

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a R$ 10.000,00 (alternativa C).

A ideia por trás

Este problema trata de proporções e equações do primeiro grau. A grandeza central é o gasto total com ingressos, que se divide em duas partes: o gasto com os funcionários que têm mais de 60 anos (que pagam R$ 25,00 cada) e o gasto com os demais (que pagam R$ 50,00 cada). A relação que governa é que o gasto com os idosos é uma fração (1/11) do gasto total. Isso significa que, se o gasto total for representado por T, então o gasto com os idosos é T/11. Como o gasto total é a soma das duas partes, podemos montar uma equação que relaciona o número de idosos (x) com o total. Nesta questão, precisamos descobrir quantos idosos há para então calcular o gasto com os demais.

O que a questão dá

• total de funcionários = 240

• preço do ingresso normal = R$ 50,00

• preço do ingresso com desconto = R$ 25,00

• gasto com funcionários com mais de 60 anos = 1/11 do gasto total

O que queremos: o valor gasto com os demais funcionários (sem desconto)

Passo 1 — Definir a incógnita x

Para resolver o problema, precisamos de uma variável que represente a quantidade de funcionários com mais de 60 anos, pois é a partir dela que calcularemos os gastos. Chamaremos essa quantidade de x.

Passo 2 — Expressar o número de demais funcionários

Como o total de funcionários é 240 e x são os idosos, o restante (240 - x) são os demais. Precisamos dessa expressão para calcular o gasto com eles.

Por que esta fórmula: A subtração é a operação que encontra a quantidade restante quando se retira uma parte do todo.

De onde vem cada valor: $240$ = enunciado: total de funcionários · $x$ = passo 1

Passo 3 — Calcular o gasto com os idosos

O gasto com os idosos é o produto do número de idosos pelo preço do ingresso com desconto. Esse valor será usado na equação principal.

Por que esta fórmula: O gasto total de um grupo é sempre o número de pessoas multiplicado pelo preço unitário.

De onde vem cada valor: $25$ = enunciado: preço do ingresso com desconto · $x$ = passo 1

Passo 4 — Calcular o gasto com os demais

O gasto com os demais é o produto do número de demais funcionários pelo preço normal. Esse valor também será usado na equação.

Por que esta fórmula: Mesmo raciocínio: gasto = quantidade × preço unitário.

De onde vem cada valor: $50$ = enunciado: preço do ingresso normal · $240 - x$ = passo 2

Passo 5 — Montar a equação do gasto total

O gasto total é a soma dos gastos dos dois grupos. A condição do enunciado diz que o gasto com os idosos é 1/11 do total, então podemos igualar 25x a 1/11 vezes a soma.

Por que esta fórmula: A fração 1/11 do total é representada por (1/11) · (soma dos gastos). Essa é a relação que traduz o problema.

De onde vem cada valor: $25x$ = passo 3 · $50(240 - x)$ = passo 4 · $\frac{1}{11}$ = enunciado: gasto com idosos é 1/11 do total

Passo 6 — Resolver a equação para x

Precisamos isolar x para descobrir quantos idosos há. Multiplicamos ambos os lados por 11 para eliminar a fração e depois simplificamos.

Por que esta fórmula: Multiplicar por 11 é a operação inversa da divisão por 11, permitindo trabalhar com números inteiros.

De onde vem cada valor: $275x$ = multiplicação de 25x por 11 · $25x$ = passo 3 · $50(240 - x)$ = passo 4

Passo 7 — Simplificar e achar x

Após a distribuição, combinamos os termos com x e isolamos x para obter o número de idosos.

Por que esta fórmula: Juntar termos semelhantes e passar para o outro lado é o método padrão para resolver equações lineares.

De onde vem cada valor: $275x$ = passo 6 · $12000$ = 50 · 240 · $-25x$ = 50x subtraído de 25x

Passo 8 — Calcular o gasto com os demais

Com x = 40, sabemos que há 40 idosos. O número de demais é 240 - 40 = 200. O gasto com eles é 200 × 50.

Por que esta fórmula: Gasto = quantidade × preço unitário.

De onde vem cada valor: $50$ = enunciado: preço normal · $240 - x$ = passo 2, com x = 40

$G_{demais}$ = R$ 10.000,00

Resposta: R$ 10.000,00 (alternativa C)