Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FCC 2020

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
fc058677
Banca
FCC
Órgão
AL-AP
Ano
2020
Cargo
Advogado Legislativo - Procurador
Em uma cidade, dentre os meios de transporte sobre duas rodas (bicicletas e motos), 12,5% são bicicletas. A fim de aumentar a participação de bicicletas, o prefeito incentivará o aumento no número de bicicletas e a diminuição no número de motos. O valor de x para, aumentando o número de bicicletas em x% e, simultaneamente, reduzindo o número de motos em x%, dobrar a participação das bicicletas, em relação ao total dos meios de transporte sobre duas rodas, é
  1. A40
  2. B30
  3. C50
  4. D25
  5. E55
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 40

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a x = 40% (alternativa A).

A ideia por trás

A porcentagem é uma forma de comparar uma parte com o todo, expressando a razão em relação a 100. Quando uma quantidade varia percentualmente, multiplicamos o valor original por um fator: para aumento, (1 + x/100); para redução, (1 − x/100). A participação de um grupo é a razão entre a quantidade desse grupo e o total. Nesta questão, o total também muda, pois as motos diminuem e as bicicletas aumentam, então a nova participação é calculada com o novo total. O problema pede que essa nova participação seja o dobro da original, o que gera uma equação que relaciona x com as quantidades iniciais.

O que a questão dá

  • participação inicial de bicicletas = 12,5%

  • aumento de bicicletas em x%

  • redução de motos em x%

  • objetivo: dobrar a participação das bicicletas

O que queremos: o valor de x, em porcentagem, que dobra a participação das bicicletas

Passo 1 — Escolher uma base conveniente

Para facilitar os cálculos, escolhemos números iniciais que respeitem a proporção dada. Como 12,5% é igual a 1/8, se houver 100 bicicletas, o total de veículos será 800 e as motos serão 700. Isso torna as contas com números inteiros.

NÃO CAIA NESSA!

Escolher uma base que não respeite a proporção, como 100 bicicletas e 100 motos, o que não corresponde a 12,5%.

Passo 2 — Aplicar as variações percentuais

Agora que temos os valores iniciais, aplicamos o aumento de x% nas bicicletas e a redução de x% nas motos. O fator de aumento é (1 + x/100) e o de redução é (1 − x/100).

Por que esta fórmula: A variação percentual é calculada multiplicando o valor original pelo fator (1 ± x/100). Isso porque x% de um valor é x/100 vezes o valor, e somamos ou subtraímos isso do original.

Bnovo=100⋅(1+x100)B_{novo} = 100 \cdot (1 + \frac{x}{100})

De onde vem cada valor: 100100 = passo 1: número inicial de bicicletas · xx = enunciado: aumento percentual · x100\frac{x}{100} = conversão de porcentagem para fração

Bnovo=100⋅(1+x100)B_{novo} = 100 \cdot (1 + \frac{x}{100})
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar 1 ao fator, usando apenas x/100, o que daria um valor errado.

Passo 3 — Calcular o novo número de motos

As motos também mudam, mas diminuem. Precisamos do novo número de motos para somar com as bicicletas e obter o novo total.

Por que esta fórmula: A redução percentual usa o fator (1 − x/100), pois subtraímos a porcentagem do valor original.

Mnovo=700⋅(1−x100)M_{novo} = 700 \cdot (1 - \frac{x}{100})

De onde vem cada valor: 700700 = passo 1: número inicial de motos · xx = enunciado: redução percentual · x100\frac{x}{100} = conversão de porcentagem para fração

Mnovo=700⋅(1−x100)M_{novo} = 700 \cdot (1 - \frac{x}{100})
NÃO CAIA NESSA!

Usar o mesmo fator de aumento para as motos, esquecendo que elas diminuem.

Passo 4 — Montar a equação da nova participação

A nova participação das bicicletas é a razão entre o novo número de bicicletas e o novo total. Como queremos dobrar a participação, essa razão deve ser 25% (o dobro de 12,5%).

Por que esta fórmula: A participação é uma fração: parte sobre todo. O novo total é a soma das novas bicicletas e novas motos. Igualamos essa fração a 0,25.

100(1+x100)100(1+x100)+700(1−x100)=0,25\frac{100(1 + \frac{x}{100})}{100(1 + \frac{x}{100}) + 700(1 - \frac{x}{100})} = 0{,}25

De onde vem cada valor: 100(1+x100)100(1 + \frac{x}{100}) = passo 2: novo número de bicicletas · 700(1−x100)700(1 - \frac{x}{100}) = passo 3: novo número de motos · 0,250{,}25 = enunciado: dobro de 12,5%

100(1+x100)100(1+x100)+700(1−x100)=0,25\frac{100(1 + \frac{x}{100})}{100(1 + \frac{x}{100}) + 700(1 - \frac{x}{100})} = 0{,}25
NÃO CAIA NESSA!

Usar o total original (800) no denominador, esquecendo que o total muda.

Passo 5 — Simplificar a equação

Para resolver, simplificamos a expressão. Multiplicamos o numerador e o denominador por 100 para eliminar as frações internas.

Por que esta fórmula: Multiplicar por 100 é uma simplificação algébrica: 100 · (1 + x/100) = 100 + x, e 700 · (1 − x/100) = 700 − 7x. O denominador fica (100 + x) + (700 − 7x) = 800 − 6x.

100+x800−6x=0,25\frac{100 + x}{800 - 6x} = 0{,}25

De onde vem cada valor: 100+x100 + x = passo 2: simplificação de 100(1 + x/100) · 800−6x800 - 6x = passo 4: soma simplificada do denominador · 0,250{,}25 = enunciado: dobro de 12,5%

100+x800−6x=0,25\frac{100 + x}{800 - 6x} = 0{,}25
NÃO CAIA NESSA!

Errar a simplificação do denominador, por exemplo, esquecer que 700 · (x/100) = 7x.

Passo 6 — Resolver a equação para x

Agora temos uma equação linear. Multiplicamos ambos os lados pelo denominador e isolamos x.

Por que esta fórmula: Multiplicar em cruz: (100 + x) = 0,25 · (800 − 6x). Depois distribuímos e isolamos x.

100+x=0,25⋅(800−6x)100 + x = 0{,}25 \cdot (800 - 6x)

De onde vem cada valor: 100+x100 + x = passo 5: numerador · 800−6x800 - 6x = passo 5: denominador · 0,250{,}25 = enunciado: dobro de 12,5%

100+x=0,25⋅(800−6x)100 + x = 0{,}25 \cdot (800 - 6x)
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar 0,25 por ambos os termos dentro do parêntese.

Passo 7 — Isolar x e obter o valor

Distribuímos o 0,25 e movemos os termos para isolar x. Isso nos dá o valor procurado.

Por que esta fórmula: Distribuindo: 100 + x = 200 − 1,5x. Somando 1,5x em ambos os lados e subtraindo 100, obtemos 2,5x = 100, logo x = 40.

2,5x=1002{,}5x = 100

De onde vem cada valor: 2,5x2{,}5x = passo 6: após somar 1,5x e subtrair 100 · 100100 = passo 6: constante resultante

2,5x=1002{,}5x = 100
x=40 %x = \boxed{40\ \%}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a aritmética ao somar ou subtrair os termos, resultando em x errado.

Resposta: x = 40% (alternativa A)

Link permanente: /questoes/fc058677