Estatística · FCC · 2020 | Questão sqc-fc058970

Intervalo de confiança e tamanho da amostra

Gabarito: letra D. Para reduzir a amplitude do intervalo de confiança à metade, o tamanho da amostra deve ser quadruplicado (de 64 para 256), pois a amplitude é inversamente proporcional à raiz quadrada do tamanho da amostra: $A = 2 \cdot z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Como o nível de confiança (95%) e a variância populacional ( $\sigma^2$ ) permanecem os mesmos, a única forma de reduzir a amplitude pela metade é multiplicar $n$ por 4.

A questão cobra a relação entre a amplitude do intervalo de confiança para a média (com variância populacional conhecida) e o tamanho da amostra. O intervalo de confiança para a média $\mu$ , quando $\sigma$ é conhecido, é dado por:

IC = \bar{x} \pm z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

onde $z$ é o valor crítico da distribuição normal padrão associado ao nível de confiança (para 95%, $z = 1{,}96$ ), $\sigma$ é o desvio padrão populacional e $n$ é o tamanho da amostra. A amplitude do intervalo é o dobro da margem de erro:

A = 2 \cdot z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Observe que a amplitude é inversamente proporcional a $\sqrt{n}$ . Portanto, se queremos que a nova amplitude seja a metade da original, temos:

\frac{A_{novo}}{A_{original}} = \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{n_{original}}}{\sqrt{n_{novo}}}

Elevando ambos os lados ao quadrado:

\frac{1}{4} = \frac{n_{original}}{n_{novo}} \Rightarrow n_{novo} = 4 \cdot n_{original} = 4 \cdot 64 = 256

A pegadinha clássica é o candidato achar que, para reduzir a amplitude à metade, basta dobrar o tamanho da amostra. Mas como a amplitude depende de $\sqrt{n}$ , o fator de aumento é o quadrado do fator de redução: para reduzir à metade, multiplica-se por $2^2 = 4$ ; para reduzir a um terço, multiplica-se por $3^2 = 9$ ; e assim por diante.

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca a relação de proporcionalidade: muitos candidatos multiplicam $n$ por 2 (achando que amplitude e $n$ são inversamente proporcionais), mas a amplitude é inversamente proporcional a $\sqrt{n}$ . Para reduzir a amplitude à metade, o tamanho da amostra deve ser quadruplicado — memorize: $n$ cresce com o quadrado do fator de redução da amplitude.

Alternativa A — ❌ Incorreta

400 seria o resultado se o candidato multiplicasse o tamanho original por $6{,}25$ (ou seja, $64 \times 6{,}25$ ), o que não corresponde a nenhuma relação direta com a redução da amplitude pela metade. Esse número não tem fundamento na fórmula — é um distrator puro.

Alternativa B — ❌ Incorreta

1.024 é o resultado de multiplicar 64 por 16, ou seja, $64 \times 4^2$ . Isso corresponderia a reduzir a amplitude a um quarto da original (fator $4$ ), não à metade. O candidato que confunde o fator de redução da amplitude com o fator de aumento de $n$ pode cair aqui.

Alternativa C — ❌ Incorreta

512 é o dobro de 256, ou seja, $64 \times 8$ . Isso corresponderia a reduzir a amplitude a $\frac{1}{\sqrt{8}} \approx 0{,}354$ da original, o que não é o que a questão pede. É outro distrator sem relação direta com a fórmula.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

256 é exatamente $64 \times 4$ , o que quadruplica o tamanho da amostra. Como a amplitude é $A = 2 \cdot z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , ao quadruplicar $n$ , a raiz quadrada dobra e a amplitude cai pela metade. Confira:

A_{novo} = 2 \cdot z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{4n}} = 2 \cdot z \cdot \frac{\sigma}{2\sqrt{n}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{A_{original}}{2}

Alternativa E — ❌ Incorreta

128 é o dobro de 64, ou seja, $64 \times 2$ . Isso reduziria a amplitude por um fator de $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ , não pela metade. É o erro mais comum: achar que dobrar $n$ reduz a amplitude à metade, quando na verdade a reduz a aproximadamente 70%.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de tamanho de amostra e amplitude, lembre-se da relação $A \propto \frac{1}{\sqrt{n}}$ . Se a amplitude deve ser dividida por $k$ , o tamanho da amostra deve ser multiplicado por $k^2$ . Aqui, $k = 2$ , então $n$ quadruplica: $64 \times 4 = 256$ .

Gabarito: letra D.