Matemática Financeira · FCC · 2020 | Questão sqc-fc058973

Matemática Financeira – Desconto Composto Racional

Gabarito: letra E (R$ 48.400,00). A soma dos valores nominais dos dois títulos é R$ 48.400,00. Isso decorre da aplicação direta da fórmula do valor atual no desconto composto racional (real): cada título de valor nominal $N$ descontado $t$ anos antes do vencimento à taxa $i=10\%$ a.a. tem valor atual $VA = N/(1+i)^t$ . Como os títulos têm o mesmo valor nominal e prazos de 1 e 2 anos, a soma dos valores atuais é $VA_1+VA_2 = N/1,1 + N/1,21 = N \cdot (210/121) = R\$ \,42.000$, resolvendo encontra-se $N = R\$ \,24.200$ e a soma dos dois nominais $2N = R\$ \,48.400$.

A questão cobra o conceito de desconto composto racional (também chamado de desconto real ou por dentro), regime em que o valor atual é obtido pela descapitalização do valor nominal usando juros compostos: $VA = N/(1+i)^n$ . A taxa de $10\%$ ao ano e os prazos de 1 e 2 anos são fornecidos, e a soma dos valores atuais é dada. Basta montar a equação e isolar $N$ .

Resolução passo a passo

Seja $N$ o valor nominal de cada título (ambos iguais).

Título descontado 1 ano antes: $VA_1 = \dfrac{N}{(1+0,10)^1} = \dfrac{N}{1,1}$
Título descontado 2 anos antes: $VA_2 = \dfrac{N}{(1+0,10)^2} = \dfrac{N}{1,21}$

A soma fornecida:

VA_1 + VA_2 = \frac{N}{1,1} + \frac{N}{1,21} = 42.000

Para somar as frações, escrevemos com denominador comum. Observe que $1/1,1 = 10/11$ e $1/1,21 = 100/121$ :

\frac{10}{11} + \frac{100}{121} = \frac{110}{121} + \frac{100}{121} = \frac{210}{121}

Portanto:

N \cdot \frac{210}{121} = 42.000 \implies N = 42.000 \times \frac{121}{210}

Simplificando $42.000 / 210 = 200$ , então:

N = 200 \times 121 = 24.200

A soma dos valores nominais dos dois títulos é $2 \times 24.200 = 48.400$ .

Alternativa a) R$ 50.820,00 – ❌ Incorreta

Valor superestimado que resultaria de um cálculo errado, como usar taxa de desconto simples ou inverter os expoentes.

Alternativa b) R$ 46.200,00 – ❌ Incorreta

Provém de se multiplicar a soma dos valores atuais por 1,1 (ou outro fator aleatório).

Alternativa c) R$ 47.300,00 – ❌ Incorreta

Não corresponde a nenhuma combinação linear simples das frações.

Alternativa d) R$ 47.850,00 – ❌ Incorreta

Outro valor que surge de aproximações ou erros no denominador comum.

Alternativa e) R$ 48.400,00 – ✅ Correta ⟵ GABARITO

Conforme demonstrado, é exatamente o dobro de $N = 24.200$ , obtido pela equação correta.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de desconto composto racional, lembre-se de que a fórmula é $VA = N/(1+i)^n$ . Quando houver prazos diferentes, escreva cada VA em função de $N$ e iguale à soma dada. Resolver a equação fracionária com denominadores comuns (ou usar decimais com cuidado) leva rapidamente ao resultado.

Gabarito: letra E.