Estatística · FCC · 2020 | Questão sqc-fc059115

Variância combinada de dois grupos com médias iguais

Gabarito: letra B. A variância dos salários de todos os 200 empregados é 1,75 (mil reais)², obtida pela média ponderada das variâncias dos grupos de homens e mulheres, uma vez que as médias dos dois grupos são iguais (5 mil reais).

A questão trabalha com a variância de uma população formada pela união de dois grupos (homens e mulheres). Como as médias dos dois grupos são iguais, a variância total é simplesmente a média ponderada das variâncias de cada grupo, com pesos proporcionais aos tamanhos dos grupos. Se as médias fossem diferentes, seria necessário adicionar um termo que captura a dispersão entre as médias (a chamada variância entre grupos).

Vamos aos dados:

Total de empregados: 200
Homens: 60% de 200 = 120
Mulheres: 40% de 200 = 80
Média salarial dos homens: 5 mil reais
Média salarial das mulheres: 5 mil reais
Coeficiente de variação dos homens: 30% = 0,30
Coeficiente de variação das mulheres: 20% = 0,20

O coeficiente de variação (CV) é definido como:

CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}

onde $\sigma$ é o desvio padrão e $\bar{x}$ é a média. Portanto, o desvio padrão de cada grupo é:

Homens: $\sigma_H = CV_H \times \bar{x}_H = 0,30 \times 5 = 1,5$ mil reais
Mulheres: $\sigma_M = CV_M \times \bar{x}_M = 0,20 \times 5 = 1,0$ mil reais

As variâncias de cada grupo são:

Homens: $\sigma_H^2 = (1,5)^2 = 2,25$
Mulheres: $\sigma_M^2 = (1,0)^2 = 1,00$

Como as médias são iguais, a variância total é a média ponderada das variâncias:

\sigma^2 = \frac{n_H \cdot \sigma_H^2 + n_M \cdot \sigma_M^2}{n_H + n_M}

Substituindo:

\sigma^2 = \frac{120 \times 2,25 + 80 \times 1,00}{200} = \frac{270 + 80}{200} = \frac{350}{200} = 1,75

Portanto, a variância dos salários de todos os empregados é 1,75 (mil reais)².

Distribuição de salários por sexo — só Homens: 120; só Mulheres: 80; Homens∩Mulheres: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 1,69 não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados. Se o aluno calcular a média ponderada das variâncias com pesos errados (por exemplo, usando 60% e 40% como pesos, mas esquecendo de multiplicar pelas variâncias corretas), pode chegar a um valor próximo, mas o correto é 1,75.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a variância total é a média ponderada das variâncias dos grupos, resultando em 1,75. Este é o valor que a banca considera correto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 1,30 poderia surgir se o aluno calculasse a média aritmética simples das variâncias (2,25 e 1,00), obtendo (2,25+1,00)/2 = 1,625, ou se cometesse algum erro de arredondamento. Mas a média correta é ponderada pelos tamanhos dos grupos, não simples.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 2,50 é exatamente a variância dos homens (2,25) acrescida de algo, ou talvez o aluno tenha usado o desvio padrão de 1,5 e elevado ao quadrado de forma incorreta. Não corresponde à variância total.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 3,25 não tem relação com os dados. Poderia surgir se o aluno somasse as variâncias (2,25 + 1,00 = 3,25), mas isso não é a variância da população combinada.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre média aritmética simples e média ponderada. Como os grupos têm tamanhos diferentes (120 e 80), a variância total não é a média simples das variâncias (que daria 1,625), mas sim a média ponderada pelos tamanhos. Além disso, muitos candidatos esquecem que, quando as médias são iguais, não há necessidade de incluir o termo de dispersão entre as médias — o que simplifica o cálculo. Fique atento: sempre verifique se as médias são iguais antes de aplicar a fórmula completa.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de variância combinada, lembre-se da fórmula geral:

\sigma^2 = \frac{\sum n_i (\sigma_i^2 + (\bar{x}_i - \bar{x})^2)}{\sum n_i}

Quando as médias são iguais, o termo $(\bar{x}_i - \bar{x})^2$ é zero, e a fórmula se reduz à média ponderada das variâncias. Na prova, identifique rapidamente se as médias são iguais — isso simplifica muito o cálculo.

Gabarito: letra B