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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FCC 2020

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
fc059224
Banca
FCC
Órgão
AL-AP
Ano
2020
Cargo
Assistente Legislativo - Assistente Administrativo
Para que um montante de laranjas possa ser dividido em 7 grupos, com um deles contendo 1/2 do total de laranjas, outro contendo 1/3 do total de laranjas e os 5 restantes contendo cada um deles a mesma quantidade de laranjas, é necessário, e suficiente, que o montante total de laranjas seja múltiplo de
  1. A60
  2. B30
  3. C90
  4. D24
  5. E18
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GabaritoB — 30

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a N deve ser múltiplo de 30 — alternativa B..

A ideia por trás

Quando dividimos uma quantidade em partes, cada parte deve ser um número inteiro de itens — não podemos ter meia laranja. Frações de um total só fazem sentido se o total for divisível pelos denominadores envolvidos. Aqui, as frações 1/2 e 1/3 exigem que N seja divisível por 2 e por 3; a divisão igual entre 5 grupos exige que a sobra seja divisível por 5. O mínimo múltiplo comum desses divisores é 30, e qualquer múltiplo de 30 satisfaz todas as condições. Nesta questão, precisamos descobrir qual número garante que todas as divisões resultem em inteiros, sem sobrar laranja quebrada.

O que a questão dá

  • total de laranjas = N (desconhecido)

  • grupo 1 = 1/2 do total

  • grupo 2 = 1/3 do total

  • 5 grupos restantes com quantidades iguais

O que queremos: a condição necessária e suficiente sobre N para que todos os grupos tenham número inteiro de laranjas

Passo 1 — Somar as frações dos dois primeiros grupos

Os dois primeiros grupos juntos consomem uma parte do total. Para saber quanto sobra para os outros 5, precisamos primeiro somar essas frações. Somar frações com denominadores diferentes exige encontrar um denominador comum — aqui, 6.

Por que esta fórmula: Para somar 1/2 e 1/3, usamos o MMC dos denominadores (2 e 3), que é 6. Convertemos cada fração para ter denominador 6 e somamos os numeradores.

12N+13N=3N+2N6\frac{1}{2}N + \frac{1}{3}N = \frac{3N + 2N}{6}

De onde vem cada valor: 12N\frac{1}{2}N = enunciado: grupo 1 = 1/2 do total · 13N\frac{1}{3}N = enunciado: grupo 2 = 1/3 do total

3N+2N6=5N6=5N6\frac{3N + 2N}{6} = \frac{5N}{6} = \boxed{\frac{5N}{6}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter as frações para o mesmo denominador antes de somar, somando numeradores e denominadores diretamente (1/2 + 1/3 = 2/5, errado).

Passo 2 — Calcular a sobra para os 5 grupos

Depois de saber quanto os dois primeiros grupos consomem, subtraímos do total para achar o que resta. Essa sobra é o que será dividido entre os 5 grupos restantes.

Por que esta fórmula: A sobra é o total menos a parte consumida: N - (5N/6). Subtrair frações com o mesmo denominador é direto: subtraímos os numeradores.

N−5N6=6N−5N6=N6N - \frac{5N}{6} = \frac{6N - 5N}{6} = \frac{N}{6}

De onde vem cada valor: NN = enunciado: total de laranjas · 5N6\frac{5N}{6} = passo 1: soma das frações dos dois primeiros grupos

N−5N6=6N−5N6=N6=N6N - \frac{5N}{6} = \frac{6N - 5N}{6} = \frac{N}{6} = \boxed{\frac{N}{6}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair apenas os numeradores sem igualar os denominadores (N - 5N/6 = N/6, mas esquecer de escrever N como 6N/6).

Passo 3 — Dividir a sobra entre os 5 grupos

A sobra deve ser repartida igualmente entre 5 grupos. Para que cada grupo receba um número inteiro de laranjas, essa divisão precisa resultar em um inteiro. Dividir uma fração por um número é o mesmo que multiplicar pelo inverso.

Por que esta fórmula: Cada grupo recebe (N/6) ÷ 5. Dividir por 5 é o mesmo que multiplicar por 1/5, então (N/6) × (1/5) = N/30.

N/65=N6×15=N30\frac{N/6}{5} = \frac{N}{6} \times \frac{1}{5} = \frac{N}{30}

De onde vem cada valor: N6\frac{N}{6} = passo 2: sobra para os 5 grupos · 55 = enunciado: 5 grupos restantes

N6×15=N30=N30\frac{N}{6} \times \frac{1}{5} = \frac{N}{30} = \boxed{\frac{N}{30}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir a sobra por 5 mas esquecer de multiplicar o denominador, achando que cada grupo recebe N/6 (errado, pois seria a sobra inteira para um grupo só).

Passo 4 — Exigir que todas as partes sejam inteiras

Agora temos as expressões para cada grupo: N/2, N/3 e N/30. Para que não haja laranja quebrada, cada uma dessas expressões deve ser um número inteiro. Isso impõe condições de divisibilidade sobre N.

Por que esta fórmula: N/2 inteiro exige N divisível por 2; N/3 inteiro exige N divisível por 3; N/30 inteiro exige N divisível por 30. Como 30 já inclui 2 e 3, a condição mais forte é N ser múltiplo de 30.

Ndevesermuˊltiplode30\boxed{\text{N} \text{deve} \text{ser} \text{m}ú\text{ltiplo} \text{de} 30}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que basta N ser múltiplo de 6 (para as frações) e esquecer do fator 5, que é necessário para dividir a sobra em 5 partes inteiras.

Resposta: N deve ser múltiplo de 30 — alternativa B.

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