Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FCC 2020

Equações Exponenciais e Fatoração de Números Naturais

Gabarito: letra E. A igualdade $2^a \cdot 3^b = 18 \cdot 6^c$ pode ser reescrita fatorando o lado direito em fatores primos: $18 \cdot 6^c = (2 \cdot 3^2) \cdot (2 \cdot 3)^c = 2^{1+c} \cdot 3^{2+c}$. Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, a fatoração em primos é única, então os expoentes devem ser iguais: $a = 1 + c$ e $b = 2 + c$. Portanto, $b - a = (2 + c) - (1 + c) = 1$.

A questão explora a fatoração única em números primos (Teorema Fundamental da Aritmética) aplicada a uma igualdade entre expressões exponenciais. O passo central é transformar ambos os lados da equação em produtos de potências de primos, para então comparar os expoentes.

Vamos fatorar o lado direito:

• $18 = 2 \cdot 3^2$

• $6^c = (2 \cdot 3)^c = 2^c \cdot 3^c$

Assim:

A igualdade original fica:

Como $a$, $b$ e $c$ são números naturais, e a decomposição em fatores primos de um número natural é única, os expoentes das bases iguais devem ser iguais. Logo:

• $a = 1 + c$

• $b = 2 + c$

Subtraindo a primeira da segunda:

A pegadinha aqui é que muitos candidatos tentam resolver por tentativa e erro, atribuindo valores a $c$ e calculando $a$ e $b$ separadamente, o que é mais trabalhoso e sujeito a erro. A chave é reconhecer que a igualdade só é possível se as bases forem as mesmas e os expoentes correspondentes forem iguais, o que é garantido pela unicidade da fatoração prima.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 5 não é obtido em nenhuma etapa da resolução. Se o candidato errasse ao subtrair os expoentes (por exemplo, fazendo $b - a = (2+c) - (1+c)$ e somando em vez de subtrair, ou confundindo os sinais), poderia chegar a um valor maior, mas 5 não corresponde a nenhum erro comum de cálculo aqui.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 2 seria obtido se o candidato concluísse que $b - a = 2$, talvez por considerar que $b = 2 + c$ e $a = c$ (esquecendo o fator 2 do 18). Mas, como vimos, $a = 1 + c$, então a diferença é 1.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 4 não tem relação com a diferença entre os expoentes. Poderia surgir de um erro na fatoração, como considerar $18 = 2 \cdot 3^3$ (incorreto, pois $3^3 = 27$), o que levaria a $b = 3 + c$ e $a = 1 + c$, resultando em $b - a = 2$, não 4.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 3 seria obtido se o candidato errasse a fatoração de 18 como $2 \cdot 3^3$ (o que é falso) e ainda subtraísse incorretamente, ou se considerasse $b = 3 + c$ e $a = c$. Nenhum desses erros é natural, mas a banca inclui esses distratores para punir quem não domina a fatoração.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $a = 1 + c$ e $b = 2 + c$, logo $b - a = (2 + c) - (1 + c) = 1$. A diferença independe do valor de $c$, pois os dois expoentes crescem na mesma proporção quando $c$ aumenta.

Gabarito: letra E