Questão de Matemática Financeira — Conceitos fundamentais de Matemática Financeira — FCC 2021

Matemática Financeira – Juros Simples e Compostos

Gabarito: letra B. O valor dos juros da primeira aplicação foi de R$ 1.000,00, obtido pelo cálculo do capital inicial a partir dos juros compostos da segunda aplicação e da relação de montante simples.

A questão envolve duas etapas: uma aplicação a juros simples e outra a juros compostos. É necessário converter a taxa anual para mensal no regime simples e usar a fórmula do montante composto para retroagir ao capital inicial.

Resolução passo a passo

1ª aplicação (juros simples)

• Taxa: 7,5% ao ano = 0,075 a.a. → mensal: $i = 0,075 / 12 = 0,00625$ (0,625% a.m.)

• Prazo: $n = 8$ meses

• Capital: $C$ (desconhecido)

• Juros: $J_1 = C \times i \times n = C \times 0,00625 \times 8 = 0,05C$

• Montante: $M_1 = C + J_1 = 1,05C$

Após resgatar, ele separa R$ 2.000,00 e aplica o restante $(M_1 - 2000)$ a juros compostos.

2ª aplicação (juros compostos)

• Taxa: 3% ao trimestre = 0,03 a.t.

• Prazo: 1 semestre = 2 trimestres → $n = 2$

• Capital aplicado: $P = M_1 - 2000 = 1,05C - 2000$

• Montante: $M_2 = P \times (1 + i)^n = (1,05C - 2000) \times (1,03)^2$

• Juros compostos: $J_2 = M_2 - P = P \times [(1,03)^2 - 1]$

• $ (1,03)^2 = 1,0609$ → $J_2 = (1,05C - 2000) \times 0,0609$

Dado que $J_2 = 1.157,10$, temos:

Portanto, o capital inicial foi de R$ 20.000,00.

Juros da primeira aplicação:

O valor dos juros simples foi de R$ 1.000,00.

Análise das alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta (R$ 750,00)

Esse valor corresponderia a uma taxa de juros simples de 0,375% ao mês (metade da taxa correta) ou a um capital de R$ 15.000,00. Não atende às condições do problema.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Conforme demonstrado, o cálculo leva exatamente a R$ 1.000,00 de juros simples.

Alternativa C — ❌ Incorreta (R$ 950,00)

Valor próximo, mas incorreto. Se o capital fosse R$ 19.000,00, os juros simples seriam R$ 950,00, mas isso não satisfaria a equação dos juros compostos.

Alternativa D — ❌ Incorreta (R$ 1.200,00)

Corresponderia a um capital de R$ 24.000,00. Nesse caso, o montante simples seria R$ 25.200,00, o valor aplicado a juros compostos seria R$ 23.200,00, gerando juros compostos de R$ 1.412,88, diferente do enunciado.

Alternativa E — ❌ Incorreta (R$ 2.000,00)

Esse valor seria o próprio capital se a taxa fosse 100% ao período, o que não se aplica. Além disso, a banca costuma colocar o valor da conta separada (R$ 2.000,00) como distrator.

Gabarito: letra B.